Пример 2

Дисперсия случайной величины D(X)=6,25. Найти среднее квадратическое отклонеие этой величины.

Решение: По определению среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно:

Ответ:

Задание 1.Случайная величина задана законом распределения

X	2	4	8
P	0,1	0,5	0,4

Найти среднее квадратическое отклонениеэтой велтчины.

Ответ: (X)=2,2.

Задание 2. Известны дисперсии трех независимых случайных величин: D(X)=2,2; D(Y)=9; D(Z)=13,8.

Найти среднее квадратическое отклонение суммы этих трех величин.

Ответ: =5.

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X которые имеют одинаковые распределения, а слеовательно, и одинаковые характероистики (математическое ожидание, дисперсию и др.)

Обозначим среднее арифмитическое рассматриваемых случайных величин через :

• Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин: M(

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин: D(

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

Вывод: Среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньше рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Пример 1

Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Решение: По определению дисперсия среднего арифметического случайных величин имеем: D(

Ответ: D(X)=4.

Задание 1.Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Ответ:

Задание 2.Среднее квадратическое отклонение отдельного измерения =6м, а всего произведено n=36 измерений. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений.

Ответ:

Контрольные вопросы

1.Дать определение математическому ожиданию дискретной случайной величине.

2.Перечислите свойства математического ожидания

3.Дать определение дисперсии, среднего квадратического отклонения

4.Перечислите свойства дисперсии.

Практическое занятие 3 Элементы математической статистики

Выборочный метод.Статистическое распределение выборки.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x объема n. Наблюдавшиеся значения x признака x называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант x вариационного ряда и соответствующих им частот n (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот W (сумма всех относительных частот равна единице). .

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

Пример 1. Выборка задана в виде распределения частот:

x	2	5	7
n	1	3	6

Найти распределение относительных частот.

Решение. Найдем объем выборки: n=1+3+6=10. Найдем относительные частоты: W

W W W

Напишем искомое распределение частот:

x	2	5	7
W	0,1	0,3	0,6

Проверка:

Пример 2

Выборка задана в виде распределения частот:

x	4	7	8	12
n	5	2	3	10

Найти распределение относительных частот.

Решение: Найдем объем выборки: n=

Найдем относительные частоты: W W W W

Напишем искомое распределение частот:

x	4	7	8	12
W

Проверка: .

Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x: F*(x)= где n -число вариант, меньших x; n -объем выборки.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].

2. F*(x)-неубывающая функция.

3. Если x - наименьшая варианта, а x - наибольшая, то F*(x)=0 при x x и F*(x)=1 при x>x