Цей результат можна отримати, якщо записати u у такому вигляді (перетворимо вираз, щоб уникнути віднімання двох близьких чисел)

і взяти корені лише з трьома правильними знаками

.

Похибка добутку.

Теорема.

Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суми відносних похибок цих чисел. Нехай

покладемо , одержимо δ ≤ δ₁ + δ₂ +…+ δ_n .

Формула правильна, якщо співмножники мають однакові або різницеві знаки.

Наприклад, u = x₁ · x₂

ln u = ln x₁ + ln x₂ ,

Наслідок. Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників, тобто

Розглянемо частковий випадок

u = k · x , де k – точний множник, відмінний від нуля.

тобто при множенні наближеного числа на точний множник k відносна гранична похибка не змінюється, а абсолютна гранична похибка збільшується в │ k │ разів.

Правило: щоб знайти добуток декількох наближених чисел з різним числом правильних значущих цифр достатньо:

1. заокруглити їх так, щоб кожне з них мало на одну (або дві) значущих цифри більшу, ніж число правильних цифр в найбільш точному із співмножників;

2. в результаті множення зберегти стільки значущих цифр, скільки правильних цифр є в найбільш точному із співмножників (або утримати ще одну запасну цифру).

Похибка частки

Теорема:

Відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника.

Нехай Тоді на основі одержимо

.

Наслідок. Якщо то

Нехай ділене х₁ і дільник х₂ мають щонайменше m вірних цифр. Якщо α і β їх перші значущі цифри, то за граничну відносну похибку частки u може бути прийнята величина

Звідси одержимо правило:

1. якщо α ≥ 2 і β ≥ 2, то частка u має щонайменше (m – 1) вірних знаків;

2. якщо α = 1 і β = 1, то частка u має (m – 2) вірних знаків.

Відносна похибка степеня.

Нехай (де m – натуральне число). Тоді

, де δ′ – відносна похибка числа

і ,

тобто гранична відносна похибка т-го степеня числа в т разів більша граничної відносної похибки самого числа.

Обчислення машинного епсилон.

Точність плаваючої арифметики можна характеризувати за допомогою машинного епсилон, тобто найменшого числа з плаваючою комою, такого що

1 ε > 1,

де означає плаваюче додавання.

Хоч це означення виділяє як машинне ε єдине число плаваючої системи, не так вже й важливо використовувати його точне значення. Воно використовується звичайно в програмах таким чином, що може відрізнятися від свого точного значення декількома степенями 2, не викликаючи при цьому серйозних труднощів.

Існує декілька методів для наближеного обчислення значення ε, таким чином програма може визначити точність машини, на якій вона виконується, під час свого виконання. Метод, яким можна обчислити наближення, котре відрізняється від ε щонайбільше множником 2, ілюструється наступним сегментом фортранної програми:

EPS = 1.

10 EPS = 0.5*EPS

EPS P1 = EPS + 1.

IF (EPS P1.GT.1) GO TO 10