Наприклад, з першого рівняння системи (2) знайдемо

, звідки (4)

З другого рівняння системи (3) виразимо х₂ через х₃, замінюючи х₁ формулою (3) або (4)

a₂х₁ + b₂x₂ + c₂x₃ = a₂(A₁x₂ + B₁) + b₂x₂ = d₂

Звідси знайдемо

або х₂ = А₂х₃ + В₂

, беручи за е₂ = а₂А₁ + b₂

Запишемо:

Аналогічно для кожного і прогоночні коефіцієнти з рівняння х_і = А_іх_і+1 + В_і мають вигляд:

(5)

е_і = а_іА_і-1 + b_і ;

При цьому враховуючи, що а₁ = с_n = 0 приймаємо

А_о = 0 ; В_о = 0. (6)

В розгорнутому вигляді формула (5) буде мати вигляд формули (7). Значення прогоночних коефіцієнтів можна одержати і таким шляхом. В рівнянні (3) понизимо індекс на одиницю та підставимо значення х_і-1 в і-е рівняння системи (1)

х_і-1 = А_і-1∙х_і + В_і-1

а_іх_і-1 + b_ix_i + c_ix_i+1 = d_i a_i(A_i-1x_i + B_i-1) + b_ix_i + c_ix_i+1 = d_i

(7)

Обернений хід прогонки (аналог оберненого ходу методу Гауса).

Він полягає в послідовному обчисленні невідомих х_і. Спочатку знаходять х_n. Для цього формулу (7) запишемо при і = n (враховуючи, що С_п = 0)

Долі використовуючи формулу (3) знаходимо послідовно всі невідомі x_n-1, x_n-2, … , x₁.

Майже у всіх задачах, що приводять до розв’язку системи (2) з трьохдіаго-нальною матрицею, забезпечується умова переважання діагональних коефіцієнтів

Це забезпечує існування єдиного розв’язку та достатню стійкість методу прогону відносно похибок заокруглення.

Для запису коефіцієнтів a_i, b_i, та прогоночних коефіцієнтів А_i-1, В_і-1 використати один і той же масив.

Приклад.

Розв’язати методом прогонки систему:

4х₁ + х₂ = 5,6

х₁ + 4х₂ + х₃ = 7,2 х₂ + 4х₃ +х₄ = 7,8

х₃ + 4х₄ + х₅ = 8,4

х₄ + 4х₅ = 7,4

Розв’язок: х₁ =1,1 ; х₂ = 1,2; х₃ = 1,3; х₄ = 1,4; х₅ = 1,5

Обчислення визначника квадратної матриці.

Визначником n-го порядку із n² елементів квадратної матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків n елементів, взятих по одному із кожного рядка та кожного стовпця матриці.

Наприклад,

(1)

Звідки взялися знаки “ – ”?

Спочатку зупинимось на деяких загальних поняттях.

• Перестановкою чисел 1, 2, …, n називають будь-яке розташування цих чисел в певному порядку. Число всіх перестановок 1∙ 2∙ …∙ n = n! В одній із перестановок числа розташовані у вигляді натурального ряду. В інших перестановках цей процес порушується.

Розрізняють в розташуванні чисел:

а) інверсію – коли більше число стоїть попереду меншого;

б) порядок – якщо менше число стоїть попереду більшого.

Перестановки можуть бути парні і непарні – з парним та непарним числом інверсій.

Тепер щодо добутків в det A. Знак окремого добутку буде (–1)^r , де r – число інверсій, що визначається за другим індексом елементів матриці, при розташуванні перших індексів в порядку зростання (а саме так розташовані перші індекси у всіх добутках (1)). Тому, (1) можна записати у початковому вигляді так:

де r₁ = 0; r₂ = 2; r₃ = 2; r₄ = 3; r₅ = 1; r₆ = 1.

Звідси й випливає формула (1).

Визначник матриці не змінюється при транспонуванні матриці, тобто det A^T = det A. При взаємній перестановці двох стовпців або двох рядків визначник не змінює свого абсолютного значення, але змінює знак на протилежний. Якщо в квадратній матриці є два однакових стовпці або два однакових рядки, то det A = 0. Визначник знаходиться тільки для квадратних матриць. Якщо det A ≠ 0, то матриця А називається невиродженою (регулярною, неособливою).

Особлива (вироджена, сингулярна) матриця, для якої det A = 0, оберненої матриці А^–1 немає.

Система нормальних рівнянь

Ах = b

має розв’язок, коли матрицю А можна обернути, тобто для неї існує обенена матриця А^–1.

Матриця А комутативна з оберненою матрицею, тобто

А^–1А = А А^–1 = Е

Обчислення матриці А^–1 – доволі важкий процес.

Обчислення визначника матриці методом Гауса.

Метод Гауса дає можливість обчислити визначник матриці А системи лінійних рівнянь

Ах = b (1)

Прямий хід метода Гауса не змінює значення визначника матриці А. Якщо в прямому ході рядки матриці не переставляються, то знак визначника не змінюється. Визначник матриці дорівнює добутку провідних (діагональних) елементів в прямому ході методу Гауса

(2)

Для його обчислення здійснюється прямий хід методу Гауса, як і при розв’язку системи, тільки без перетворень вектора b. Після завершення прямого ходу знаходиться детермінант матриці А.

Однак, якщо використовувати описаний метод для обчислення визначника

наступної матриці

,

то це призведе до зупинки з індикацією помилки (ділення на нуль), тому користуються програмою з вибором головного елемента.

Якщо використовують метод Гауса з вибором головного елемента, то в формулу необхідно додати множник (–1)^К

,

де К – кількість перестановок рядків.

Обчислення оберненої матриці.

Розглянемо невироджену квадратну матрицю А (det A ≠ 0) і знайдемо елементи її оберненої матиці А^–1:

А^–1={ α_ij } , ; ,

використовуючи співвідношення:

А ∙ А^–1 = Е , (1)

де Е – одинична матриця.

Співвідношення (1) можна записати в розгорнутому вигляді:

; (2)

– символ Кронекера

В співвідношенні (2) j – зафіксоване, тому j-й стовпчик оберненої матриці α_jK можна розглядати як вектор невідомих. Отже, при фіксованому j розв’язок системи (2) буде j-м вектором-стовпчиком матриці А^–1.

Покажемо це на конкретному прикладі: n = 4

A ∙ А^–1 = Е

Елементи оберненої матриці можна знайти, розв’язуючи n (в даному випадку n = 4) систем алгебраїчних рівнянь:

j = 1

j = 2

j = 3

j = 4

Маємо n систем алгебраїчних рівнянь з однаковою матрицею А та різними стовпцями вільних членів.

Якщо для розв’язування лінійних систем використовувати метод Гауса, то зведення матриці А до трикутного вигляду виконується тільки один раз, а обернений хід виконується n разів (кожний раз для відповідного вектора-стовпчика вільних членів).

Для того, щоб перевірити, чи вірно знайдені елементи оберненої матриці, необхідно перемножити матрицю А на її обернену матрицю А^–1, в результаті чого одержимо одиничну матрицю.