4.3Порядок виконання роботи
4.3.1 Виконати чисельне диференціювання – знайти першу і другу похідні, використовуючи панель Calculus (Обчислення). Попередньо визначивши змінну х.
Таблиця 4.1 – Варіанти завдання до п. 4.3.1 та 4.3.2
1 |
|
13 |
|
2 |
|
14 |
|
3 |
|
15 |
|
4 |
|
16 |
|
5 |
|
17 |
|
6 |
|
18 |
|
7 |
|
19 |
|
8 |
|
20 |
|
9 |
|
21 |
|
10 |
|
22 |
|
11 |
|
23 |
|
12 |
|
24 |
|
4.3.2 Знайти первісну для заданих функцій (див. табл. 4.1) через меню символьних операцій Symbolics→Variable→Integrate.
4.3.3 Виконати
інтегрування (див. табл. 4.2), використовуючи
оператор
4.3.4 Обчислити
означений інтеграл f(x)dx
із заданою
похибкою, поділивши проміжок [a,b]
на n
частин. Крок інтегрування
.
Метод інтегрування вибрати згідно
варіантів.
Метод
прямокутників
Метод
трапецій
Метод Сімпсона
(парабол) для непарних ординат
,
для парних ординат
Таблиця 4.2 - Варіанти завдання до п. 4.3.3, 4.3.4
№ вар |
Підінтегральна
функція
|
n |
a |
b |
TOL |
Метод розв`язування |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
9 |
0.45 |
0.9 |
0.001 |
Прямокутникiв |
2 |
|
12 |
0.1 |
1.5 |
0.001 |
Трапецiй |
3 |
|
10 |
2 |
3 |
0.001 |
Сiмпсона |
4 |
|
11 |
0.6 |
1.7 |
0.001 |
Прямокутникiв |
5 |
|
20 |
1.5 |
2.1 |
0.001 |
Трапецiй |
6 |
|
20 |
0.2 |
2.1 |
0.001 |
Ciмпсона |
7 |
|
10 |
0.1 |
2.5 |
0.001 |
Прямокутникiв |
8 |
|
12 |
0.1 |
1.1 |
0.001 |
Трапецiй |
9 |
|
15 |
1.2 |
2.4 |
0.001 |
Ciмпсона |
10 |
|
14 |
2.3 |
3.6 |
0.001 |
Прямокутникiв |
11 |
|
10 |
0.7 |
1.7 |
0.001 |
Трапецiй |
12 |
|
14 |
1.3 |
2.7 |
0.001 |
Ciмпсона |
13 |
|
20 |
0 |
1.6 |
0.001 |
Прямокутникiв |
14 |
|
12 |
2 |
3 |
0.001 |
Трапецiй |
15 |
|
13 |
1 |
1.5 |
0.001 |
Сiмпсона |
16 |
|
10 |
1 |
2 |
0.001 |
Прямокутникiв |
17 |
|
7 |
1 |
9 |
0.001 |
Трапецiй |
18 |
|
10 |
1 |
2 |
0.001 |
Сiмпсона |
19 |
|
7 |
-1 |
1 |
0.001 |
Прямокутникiв |
20 |
|
10 |
0 |
/3 |
0.001 |
Трапецiй |
21 |
|
9 |
0 |
|
0.001 |
Сiмпсона |
22 |
|
12 |
0 |
0,5 |
0.001 |
Прямокутникiв |
23 |
|
8 |
0 |
/2 |
0.001 |
Трапецiй |
24 |
|
5 |
|
|
0.001 |
Сiмпсона |
Таблиця 4.3 - Варіанти завдання до п. 5
№ |
Рівняння |
Початкові умови |
Відрізок |
Крок |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
4.4Контрольні запитання
4.4.1 Назвіть способи виконання символьних операцій в MathCad.
4.4.2Які Ви знаєте символьні операції із виділеними виразами?
4.4.3 Які Ви знаєте символьні операції із виділеними змінними?
4.4.4 Які Ви знаєте символьні операції перетворення?
4.5Рекомендована література
4.5.1 Ганженко Н. С. Інформатика та обробка геологічних даних. Конспект лекцій. – ІФНТУНГ, 2003 – 157с.
4.5.2 Дьяконов В. Mathcad 2001. учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с.
Лабораторна робота №5 Розв’язок рівнянь та систем рівнянь засобами пакету MathCAD
5.1Мета і завдання роботи
Навчитися розв’язувати рівняння та системи рівнянь засобами MathCad.
5.2Основні теоретичні положення
Нелінійні рівняння можна розділити на два класи - алгебраїчні і трансцендентні. Алгебраїчні рівняння – це рівняння, що містять лише алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Зокрема, многочлен є цілою алгебраїчною функцією. Рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показникові, логарифмічні та інші) називаються трансцендентними.
Методи розв’язку нелінійних рівнянь діляться на дві групи: точні методи; ітераційні методи.
Точні методи дозволяють записати корені рівняння у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Проте, багато рівнянь та систем рівнянь не мають аналітичних розв’язків. Це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено, що неможна побудувати формулу, за якою можна було би розв’язати довільне алгебраїчне рівняння більше четвертого степеня. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, що відомі лише приблизно, і, відповідно, завдання точного визначення коренів рівняння не має змісту. Для їхнього розв’язку використовуються ітераційні методи з певною степінню точності.
Розв’язок одного рівняння засобами Mathcad|
Для простих рівнянь у вигляді f(x) = 0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root( f(х1, x2), х1, а, b ). Функція повертає значення х1, що належить відрізку [а, b], при якому вираз або функція f(х) прирівнюються до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр. х1 - ім'я змінної, яка використовується у виразі. Цій змінній перед використанням функції root необхідно присвоїти числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня; а, b – граничні параметри відрізка пошуку кореня розв’язку, але є необов'язковими, а якщо використовуються, то мають бути дійсними числами, причому а < b.
Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить відповідного наближення, то з'явиться повідомлення “Not converging” (“відсутня збіжність”). Ця помилка може бути спричинена такими причинами:
Рівняння не має кореня розв’язку.
Корінь рівняння знаходиться далеко від початкового наближення.
Вираз має локальні max і min між початковим наближенням і коренем розв’язку.
Вираз має розриви між початковими наближеннями і коренем розв’язку.
Вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було дійсним.
Щоб встановити причину помилки треба дослідити графік f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x)= 0 і, якщо вони є, то визначити приблизно їхні значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, тим швидше буде root сходитися.
Рекомендації
до використання функції root: для
зміни точності, з якою функція root шукає
корінь, потрібно змінити значення
системної змінної TOL. Якщо значення TOL
збільшується, функція root сходитиметься
швидше, але відповідь буде менш точна.
Щоб змінити значення TOL в певній точці
робочого документа, використовуйте
визначення вигляду
.
Щоб змінити значення TOL для всього
робочого документа, виберіть команду
Математика (Math)
→ Параметри (Options)
→ Змінні (Built-in
Variables) →
Допуск збіжності (TOL).
Якщо два корені знаходяться поблизу один від одного, необхідно зменшити TOL абои розрізнити їх.
Знаходження кореня полінома
Для знаходження кореня виразу, що має вигляд
аnxn + ... + а2x2 + а1x1 + а0
краще використовувати функцію polyroots, ніж root. На відміну від функції root, функція polyroots не вимагає початкового наближення і повертає відразу всі корені, як дійсні, так і комплексні.
Функція рolyroots(v) повертає корінь полінома степеня n. Коефіцієнти полінома знаходяться у векторі v довжини n + 1. Повертає вектор довжини n, що складається з кореня полінома. Аргументи: v – вектор, що містить коефіцієнти полінома.
Рисунок 5.1 - Розв’язок рівнянь засобами|коштами| Mathcad|