2.3. Затухающие колебания

Пусть пружинный маятник находится в вязкой среде (рис. 10). На материальную точку в этом случае действует сила сопротивления среды F_c =  v_x =   , где  - коэффициент сопротивления вязкой среды. 2-ой закон Ньютона в проекции на ось 0Х примет вид: , или . Обозначим и учтем, что - квадрат собственной частоты колебательной системы. Тогда 2-ой закон Ньютона примет вид:

. (4)

Уравнение (4) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В приведенном ниже приложении рассмотрен способ решения этого уравнения.

Математическое приложение

Решение дифференциального уравнения (4) ищется, как известно, с помощью подстановки экспоненциальной функции x(t) = е ^t exp (t), где  = const, е - основание натурального логарифма. Напомним, функцию е ^t записывают также и в форме exp (t), т.е. е ^t  exp (t). Дважды продифференцируем x(t) = exp (t), и результаты подставим в (4):

² + 2  + ₀² = 0.

Полученное алгебраическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (4), называется характеристическим уравнением. Корнями характеристического уравнения являются: _1,2 =    . При малых затуханиях (при ₀ > ) подкоренное выражение будет отрицательным, следовательно, корень является мнимой величиной. Представим подкоренное выражение в виде (i^/)², где: i = - мнимая единица, ^/ = - вещественная величина. Таким образом, решениями характеристического уравнения являются корни:

₁ =   + i^/; ₂ =    i^/,

Условие ₀ >  означает, что сопротивление среды не слишком большое и колебательная система до полного затухания успевает многократно пройти через положение устойчивого равновесия. Корни характеристического уравнения ₁ и ₂ - это как раз те значения , при которых подстановка x(t) = exp (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению . Общее решение уравнения (4) при данных корнях характеристического уравнения принимает вид:

x(t) = C₁exp [ (  + i^/)t] + C₂exp [ (   i^/)t] или

x(t) = exp (  t) [C₁ exp (i^/t) + C₂exp ( i^/t)] .

Функция x(t) описывает колебание, следовательно, эта функция должна быть вещественной. Условие вещественности означает равенство комплексно сопряженных величин:

C₁ exp (i^/t) + C₂exp ( i^/t) = C₁^* exp (i^/t) + C₂^* exp (i^/t).

Следовательно, C₁ = C₂^* и C₂ = C₁^*. В показательной форме постоянные комплексные коэффициенты C₁ и C₂ можно представить, например, в виде: C₁ = exp (i); C₂ = exp (i). Подставим эти коэффициенты в решение уравнения: x(t) = {exp [i(^/t + )] + exp [i(^/t + )] }.

Для представления решения (4) в тригонометрической форме воспользуемся формулой Эйлера exp (i) = cos + isin ; exp ( i) = cos  isin, из которой следует, что

cos = [ exp (i) + exp ( i) ] , sin = [ exp (i)  exp ( i) ].

Следовательно: x(t) = {exp [i(^/t + )] + exp [i(^/t + )]}= Ae ^{ t} cos (^/t + ).

Итак, решение уравнения (4) имеет вид:

x(t) = Ae ^{ t} cos (^/t + ). (5)

График решения (5) приведен на рис. 11.

Рис.11

Частота затухающих колебаний ^/ определяется соотношением ^/ = ( ^/ не равна собственной частоте ₀ колебательной системы!), а период - T = , где коэффициент  носит название коэффициента затухания. Приведенное решение верно при не слишком больших затуханиях, т.е. при условии ₀ > . При ₀ >>  частота и период затухающих колебаний колебательной системы почти совпадают с собственной частотой и периодом этой колебательной системы: ^/  ₀ и T  .

Роль амплитуды в (5) играет величина (Ae ^{ t}), где А - амплитуда в момент времени t = 0. Амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону (знак минус), следовательно, затухающие колебания не являются строго периодическими. Однако периодичность проявляется, например, в повторяемости прохождения материальной точкой положения равновесия.

Феноменологический смысл коэффициента затухания  следует из выражения для переменной амплитуды затухающего колебания - Ae ^{ t}. Показатель степени при e^t должен быть безразмерной величиной, следовательно,  измеряется в обратных секундах и может быть представлен в виде  = , где  - некоторое характерное время колебательной системы. За промежуток времени t =  начальная амплитуда уменьшается в e  2,7 раза (почти в 3 раза), т.к. в этом случае t = t = 1, следовательно, Ae ^{ t} = .

Таким образом, коэффициент затухания  равен обратной величине того промежутка времени , за которое амплитуда уменьшается в e  2,7 раз. Заметим: уменьшение амплитуды в 2,7 раза на практике воспринимается как почти полное затухание колебаний. Поэтому время  часто называют временем затухания колебаний, или временем релаксации колебания.

Итак, коэффициент затухания  и время релаксации частота , собственная частота ₀ и период собственных колебаний T₀, частота затухающих колебаний  и период этих колебаний T являются важнейшими характеристиками колебательной системы. В практическом плане вводятся дополнительные характеристики колебательной системы, являющиеся комбинацией величин , , ₀, T₀, ^/, T. Введем эти характеристики.

Выше уже было показано, что частота затухающих колебаний связана с собственной частотой ₀ и коэффициентом затухания : ^/ = . Подчеркнем, коэффициент затухания  определяется свойствами вязкой среды, в которой колеблется осциллятор, а собственная частота ₀ – собственными свойствами самого осциллятора. Из этого следует, что измеренные в эксперименте ₀ и  позволяют определить коэффициент вязкости , исследовать релаксационные свойства  и другие характеристики вязкой среды.

Логарифмическим декрементом затухания  называется логарифм отношения значений амплитуд затухающих колебаний, отстоящих во времени на период:

 = ln = ln e^T = T.

Само отношение = e^T называется декрементом затухания.

За время затухания  колебательная система успевает совершить N_e = колебаний (N_e = = ), где T – период колебания (время одного колебания). Итак, число N_e – это число колебаний за время релаксации . Из определения N_e следует, что  N_e = 1.

Число N_e разных колебательных систем могут существенно различаться. Например, в обычных механических колебательных системах N_e может достигать нескольких десятков, в электрических колебательных контурах - нескольких сотен, у кварцевого резонатора N_e может достигать значений ~ 10⁶. Величина N_e определяет добротность колебательной системы Q, которая выражается формулой Q = =  N_e . Чем выше N_e, тем добротнее колебательная система. К понятию добротности вернемся в § 2.7.