Свойство линейности

Умножение оригинала и изображения на постоянное число а не изменяет характера преобразования, так, если решетчатой функции cоответствует Z-преобразование , то .

Если имеется линейная комбинация двух решетчатых функций, то ей соответствует аналогичная линейная комбинация [D] и [Z]-преобразования.

(6.26)

Свойство смещения

При нулевых начальных условиях смещение оригинала на  к, изменение аргумента на величину  к соответствует умножению изображения на

(6.27)

При умножении оригинала на [D] и [Z]-преобразования определяются по формулам:

(6.28)

т.е. смещение независимого переменного в области преображений на  соответствует умножению на .

Изображение конечных разностей

При нулевых начальных условиях справедливы формулы

(6.29)

Изображение конечной суммы.

Суммирование в области оригиналов соответствует в области изображений делению на :

(6.30)

(6.31)

Теорема свертки в вещественной области

Пусть две дискретные функции и имеют изображения и .

Тогда дискретная функция , [D]-преобразованием которой является произведение , будет равна:

. (6.32)

Для Z-преобразования свойство свертки определяется аналогично:

. (6.33)

Начальное значение оригинала

Значение оригинала при равно

(6.34)

. (6.35)

Конечное значение оригинала

Значение оригинала при равно:

(6.36)

или для Z-преобразования

(6.37)

.

6.5. Передаточные функции цифровых сау в замкнутом

и разомкнутом состоянии

6.5.1. Передаточные функции цифровых САУ в разомкнутом состоянии. Разомкнутую ЦСАУ можно представить в виде импульсного элемента и приведенной непрерывной части, как это сделано на рис. 6.14.

Импульсный элемент (ИЭ) представляется в виде идеального ключа, а передаточная функция W(S) является передаточной функцией приведенной непрерывной части и равна

, (6.38)

где – передаточная функция формирующего элемента;

– передаточная функция непрерывной части.

Передаточная функция разомкнутой импульсной САУ – это отношение изображений (в соответствии с дискретным преобразованием Лапласа) выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях

(6.39)

Аналогично определяется эта передаточная функция в соответствии с [Z]-преобразованием:

. (6.40)

Преобразования импульсных сигналов и будут соответственно равны:

. (6.41)

. (6.42)

По определению передаточной функции сигнал на выходе приведенной непрерывной части (ПНЧ) равен

(6.43)

или

, (6.44)

– Z-передаточная функция ПНЧ.

Таким образом, для нахождения дискретной или Z-передаточной функции приведенной непрерывной части необходимо найти передаточную функцию

(6.45)

и определить ее D и Z-преобразования.

Способы определения передаточной функции непрерывной части изучены в теории непрерывных САУ. Рассмотрим подробнее определение передаточной функции формирующего элемента .

Формирующий элемент может быть представлен как непрерывный, характеризующийся тем, что его реакция на импульсе вида -функции (импульсная переходная характеристика), поступающий с выхода идеального ключа, совпадает по своей форме с импульсами на выходе реального импульсного элемента.

по определению равна отношению изображения на выходе к изображению сигнала на входе (изображению -функции).

, (6.46)

где – изображение сигнала на выходе ФЭ;

– изображение сигнала на входе ФЭ.

.

Отсюда следует, что преобразование Лапласа дискретной функции времени является периодической функцией с частотой повторения .

Для того, чтобы непрерывный сигнал со спектром, ограниченным частотой можно было восстановить на последовательности его дискретных значений, необходимо, чтобы частота квантования ₀ удовлетворяла условию , или по теореме Котельникова – Шеннона.

Так как изображение сигнала на входе

, (6.47)

то

, (6.48)

т.е. передаточная функция формирующего элемента равна изображению его импульсной характеристики.

В качестве примера определим , выходной сигнал которого представляет собой последовательность прямоугольных импульсов, которые можно представить как сумму двух ступенчатых единичных функций , сдвинутых во времени друг относительно друга на и имеющих различную полярность, рис. 6.14:

, (6.49)

где – скважность импульса.

Известно, что изображения

, (6.50)

. (6.51)

В этом случае передаточная функция формирующего элемента запишется следующим образом:

(6.52)

или при

. (6.53)

Таким образом, передаточная функция разомкнутой импульсной САУ с формирующим элементом рассмотренного типа определяется следующим образом:

. (6.54)

Z-преобразование от нее дает Z-передаточную функцию разомкнутой САУ.

(6.55)

или при

(6.56)

Формирующий элемент с передаточной функцией (6.52) называется «фиксатором». Он как бы растягивает мгновенный импульс на входе на период следования. На выходе «фиксатора» сигнал имеет форму прямоугольной волны, рис. 6.15.

Простейший ИЭ с фиксатором образуют прямоугольный П-импульсный элемент, преобразующий входную функцию в последовательность прямоугольных импульсов. Аналогично можно определить изображение по Лапласу и для импульсов другой формы.

Передаточные функции ФЭ для типовых форм импульсов приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2