Модели управления запасами

Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов своих ресурсов, чтобы избежать простоев или перерывов в технологических процессах и сбыте товаров или услуг. Для производственной фирмы необходимы определённые запасы материалов, комплектующих изделий, готовой продукции, для банка – денежной наличности, для больницы – лекарств, инструментов и т.д. Поддержание высокого уровня запасов повышает надёжность функционирования организации и избавляет от потерь, связанных с их нехваткой. С другой стороны, создание запасов требует дополнительных издержек на хранение, складирование, транспортировку, страхование и т.п. Кроме того, избыточные запасы связывают оборотные средства и препятствуют прибыльному инвестированию капитала, например, в ценные бумаги или банковские депозиты.

Модели управления запасами позволяют найти оптимальное решение, т.е. такое решение, при котором уровень запаса, который минимизирует издержки на его создание и поддержание при заданном уровне непрерывности производственных процессов.

ПРИМЕРЫ:

Задача планирования и управления запасами

t_n – набор моментов отгрузки оборудования

t₀ – момент начала работы

R_n – плановый объем продукции, которые мы должны отгрузить в t_n

R₀=0, R_n – целочислен (продукция дискретна)

x_n – предельная производительность на n-ом интервале. 0x_n x_n

В разное время производительность различна

w_n – издержки производства и хранения на n-ом интервале

параметры:

a_n – издержки на производство единицы продукции (руб/шт)

b_n – издержки на наладку оборудования (руб/партия)

c_n – издержки хранения единицы продукта (руб/шт)

Ограничения: z_n – величина запаса в момент t_n+0,

, z₀=0

Целевая функция: Средний уровень запаса=(запас в начале + запас в конце)/2 - функция управления.

,

Задача о распределении ресурсов

Нам дано N объектов, с номерами n=1..N. Выделено некоторое число ресурсов R , .

W_n(R_n) – сколько прибыли принесет ресурс, если будет выделен определенному объекту (эффект).

Задача: . n-ый шаг – выделение ресурсов n-му объекту. Управление (x_n = R_n) – количество ресурсов, которые мы выделим n-му объекту. S_n – количество нераспределенного ресурса после завершения n-го шага. S₀=R, S_N=0.

Управление запасами при постоянном спросе и регулярных поставках (задача Джонсона)

g_i – затраты на переналадку или на доставку i-го товара (партия).

si – затраты на хранение i-го вида запаса (шт).

f_i – площадь склада под i-й вид запаса (шт).

Y_i – максимальный запас на складе i-го вида запаса (шт).

Q_i=Y_i – объем заказываемой партии

_i – спрос на i-го вида запаса.

C_i – стоимость единицы i-го вида запаса (шт).

С – кап. вложения.

F – емкость склада.

.

Функция Лагранжа: ,

Q[1,n],  - множитель Лагранжа – показывает как изменится функция Лагранжа (L), целевая функция (L(Q)) при изменении емкости склада (F).

; , от сюда находим Q_i^o, F^o… При ограничении на кап. вложения вывод аналогичен, только f_i=c_i, F=C.

Сетевые модели

В 1955 году зародились методы и модели сетевого планирования. PERT – метод оценки и пересмотра планов. СПУ – сетевое планирование и управление. Применяется: планирование и управление крупными техническими проектами, учебным процессом. Назначение: системный анализ сложных комплексов работ и осознание их в взаимосвязи; регулирование процесса выполнения комплекса работ, путем пересмотра плана.

ПРИМЕР

Детерминированный анализ сетевой модели

T_i^ - раннее время наступления события i; Все работы руководствуются правилом: работа t_ij начинается как только произошло событие i – раннее время. T_j^ = , j=1..I, T₀^=0.

Работа (i) начинается сразу после окончания события (j).

T_i^ - позднее время наступления события i. Работа (i) должна быть закончена к моменту начала (j).

T_i^ = , i=(I-1)..0. R – резерв времени события. T_I^ = T_I^; T₀^ = T₀^

Критический путь – последовательность событий, в которых работы плотно прилегают одна к другой. Как только заканчивается одна, сразу же начинается другая. Путь идет от начала до конца. . r_ij^ - свободный резерв времени работы; r_ij^ - полный резерв; r_ij’ – частный резерв.

1^го рода – для увеличения продолжительности данной работы и последующих, не меняя предыдущие.

2^го рода – для увеличения продолжительности данной работы и предыдущих, не меняя последующие.

Полный резерв сокращает продолжительность всего комплекса работ.

Свободный резерв не сокращает продолжительность всего комплекса работ, изменяет только данную.

Вероятностный анализ сетевой модели

F _ij() = P{T_ij<};

1. строим плотность распределения

2. отсечем хвосты, чтобы сумма была равна 0,0027

t_ij = M[T_ij] – вычисляется по эмпирической формуле, выработанной годами исследований и испытаний.

,

Флюктуации продолжительности работ не приведут к изменению критического пути. Работы в сетевом графике статистически взаимонезависимы. Теорема Ляпунова – сумма бесконечного (большого) числа статистически независимых случайных слагаемых, асимптотически стремится к нормальному распределению. Длительность критического пути имеет нормальное распределение, мат. ожидание Т и дисперсию . Тогда функция распределения выглядит:

,

введем подстановки ; ; ;

получим: .

Стандартные функции табулированы: P{T} = p = P{Xx} = 1 – Ф(х);  – плановое, Т – фактическое, Р – вероятность того, что продолжительность комплекса работ не превысит заданную величину.