§1. Декартова система координат.

Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.

Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любая

точка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций

на осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(М_х,М_у,М_z).

В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленные координатным осям x, y и z соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор .

Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус −вектором точки М.

Пусть его координаты в данном базисе равны r_x,r_y и r_z , т.е.

z Из определения суммы векторов (§2) сразу следует, что

вектор . В свою очередь, каждое

M_z из слагаемых правой части равно проекции вектора r на

М координатную ось (§3), умноженную на соответствующий

k r базисный орт: и

О j M_y y . В силу единственности разложения

i вектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:

М_х

x рис.1

В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны

его проекциям на координатные оси.

§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

В Пусть − произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'

М и В' с координатами А_х и В_х − проекции точек А и В на ось ОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна В_х − А_х (гл.I ,§3,св.3).

А' М' В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна , то |AB| =

(гл.1, §7).

2. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число , где АМ и МВ − величины направленных отрезков , называемое отношением, в котором т. М делит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем: . Отсюда легко получаем координаты точки М:

.

Замечания.

1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

2. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т. величина λ будет отрицательной.