Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по матем.анализу_1 Фокина.doc

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2019

Размер:

64 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

I Действительные числа

Множество натуральных чисел N ={1, 2, 3, ….}

Множество целых чисел Z = {0, ±1,±2, …. }

Множество рациональных чисел, имеющих вид , где m – целое, n – натуральное. Числа, которые нельзя представить в виде , называются иррациональными.

Примером иррационального числа, например, является . Покажем, что .

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть = - несократимая дробь.

2 = / , 2 = , отсюда m = 2k – четное

2 = 4 , = 2 , следовательно

n – четное, n = 2 , то есть дробь = - сократимая, что противоречит условию.

Заметим, что иррациональность приписывают еще Пифагору, который доказал несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю.

Объединение рациональных и иррациональных чисел и есть множество действительных чисел, которое будем обозначать R.

Существенный вклад в содержание понятия действительного числа внес Декарт, он выразил числа посредством длин и получил геометрическое определение множества действительных чисел.

Итак, представим прямую, на которой выбрана точка отсчета 0, которая будет соответствовать числу нуль, а точка расположена правее и соответствует числу один, то есть мы задали масштаб на этой прямой.

Справа от точки 0 будут располагаться положительные числа, слева – отрицательные.

Пусть надо изобразить число , тогда есть две возможности: либо оно попадет между точками , либо попадет между точками и .

Значит, в этом числе есть целых единиц. Внедрение десятичной системы счисления фактически содержит в себе алгоритм приближения к действительному числу. Разделим отрезок , ] на десять равных частей.

, ,, …… = . Если точка совпадает из точек (), то точке соответствует положительное рациональное число .

Если же попадет в интервал (), то разделим его на 10 равных частей и так далее. Пусть процесс этот конечен, тогда точке соответствует рациональное число, если же процесс бесконечен, то иррациональное число. (либо рациональное, если комбинация чисел повторяется)

Введем понятие абсолютной величины действительного число

| =

Перечислим основные свойства

Определение 1.1

Окрестностью точки а назовем множество точек , удовлетворяющих неравенству

|| < а - < < а + (1.1)

Определение 1.2

Множество точек действительной оси называется ограниченным, если существуют два таких числа m и M, что для всех из этого множества выполняется неравенство m M , (1.2)

II Функции действительного переменного

Пусть есть два множества действительных чисел и , R – действительные числа.

Определение 2.1

Пусть каждому элементу поставлен в соответствие по определенному правилу единственный элемент. Тогда говорят, что на множестве определена функция

(2.1)

Примеры

Числовые последовательности

Определение 2.2

Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью.

(n) = n=1,2,3….. (2.2)

Примеры

= {} = {}
= = { … ….. }
= = {-1, -2, -3, -4 ……………}

Важным свойством поведения последовательности является понятие предела числовой последовательности.

Определение 2.3

Число называется пределом числовой последовательности {}, если для любого положительного числа , найдется такой номер, зависящий от , начиная с которого будет выполняется неравенство |-а| <

Это определение записывают так :

(2.3)

С геометрической точки зрения вне окрестности числа будет находиться конечное число членов последовательности, которое зависит от заданного .

Определение предела корректно. А именно, если последовательность сходится, то предел единственный. Докажем, методом от противного.

Пусть ,

рассмотрим =

Итак, где – любое положительное число. Тогда .

Важно научиться работать с определением предела числовой последовательности, чтобы постичь смысл этого определения.

По существу надо при заданном > 0 показать, что номер, начиная с которого будет выполняться неравенство а - < < а + существует.

Поэтому надо от неравенства переходить к более простому, которое легко решается.

Рассмотрим некоторые примеры.

Примеры

= 0 Докажем этот факт.

Оценим ||

Так как ,

то мы числитель увеличили, а знаменатель уменьшили.

Следовательно, N = [] +1. Здесь [a] – целая часть числа а.

Так [5,93] = 5, [-4,2] = - 4

, N = [] +1

Если смотреть на число , как на заданную точность, то из определения предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера все члены последовательности равны в пределах этой точности.

Также в примере 1, если = 0,1, то N = 21, мы можем в своих рассуждениях считать все члены последовательности {} считать равными нулю, начиная с этого номера.

Если = 0,01, то N = 201. В этом случае с этого номера все члены последовательности в пределах этой точности равны 1.

Определение 2.4

Последовательность {} называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

= 0 (2.4)

Тогда любую сходящуюся к числу последовательность можно представить в виде:

= n = 1,2 ….. (2.5)

Докажем следующий факт:

Произведение бесконечно малой последовательности { }на ограниченную {} последовательность есть бесконечно малая последовательность.

= 0 ||

| || = ,

Следовательно,

= 0

Определение 2.5

Последовательность {} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого будет выполняться неравенство || E

= (2.6)

Примеры бесконечно больших последовательностей

= , = n , = -

Теорема (арифметические свойства предела)

Если , , то:

, если

Докажем свойство 1

Имеем

| + =

Эта теорема применяется для вычисления пределов различных последовательностей

Пример

= =

(использовали формулы для суммы геометрической прогрессии)

Однако не всегда можно применить теорему, так как могут возникнуть следующие типы неопределенностей:

, 0 * , , , ,

Рассмотрим способы раскрытия указанных неопределенностей

Примеры

= = =

Для раскрытия таких неопределенностей надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.

= - 1

Поясним действия. Имеем сначала неопределенность типа . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение , далее получаем неопределенность , которую раскрываем по правилу первого примера.