9. Нелинейные эволюционные операторы с обобщенными импульсными характеристиками: основные определения и свойства.

Пусть – пр-во финитных слева бесконечно дифференцируемых функции на числовой оси. Зафиксируем натуральное число и рассмотрим – -cтепень пр-ва .

Обозначим через тензорную степень мультииндекса вектор-функций :

Пусть и – натуральные числа, – пр-во всех обобщенных –мерных вектор-функций на пр-ве с носителем на .

Пусть – оператор сокращения переменных степени :

, где – -мерная вектор-функция на пр-ве .

Опр. Эволюционным оператором кратности наз. оператор , действующий по формуле

где суммирование ведется по мультииндексам не равным нулю, , - -мерная свертка.

Опр. Эволюционный оператор кратности (1, 1) наз. оператором Вольтерра-Винера.

Опр. Обобщенную вектор-функцию наз. импульсной характеристикой мультииндекса эволюц. оператора .

Опр. Семейство – семейством импульсных характеристик оператора .

Опр. Оператор , определяемый рав-вом

наз. –й компонентой оператора .

Опр. Если , то наз. однородным эволюционным оператором степени .

Опр. – мн-во эволюционных операторов степени .

Св-ва оператора :

1) Линейность и непрерывность относительно -й тензорной степени: отображение линейно и непрерывно.

2) Сохранение нуля:

3) Однородность степени : для и имеет место рав-во ,

где ,

4) Причинность: если , то

Опр. Для любого фиксированного нат. числа определим оператор , который наз. однородной компонентой –й степени эволюционного оператора .

Опр. Оператор – наз. полиномиальной компонентой степени оператора .

Опр. Полиномиальные операторы степени 1 наз. линейными эволюционными операторами. Они имеют след. вид: ,

Примером линейного эволюц. оператора кратности (2,1) явл. оператор суммирования : положим ( - ф-ция Дирака), тогда

Оператор умножения явл. уже однородным эволюц. оператором степени 2 кратности (2,1): положим и , тогда

10. Тензорное произведение эволюционных операторов. Рассмотрим вначале тензорное произведение реакций двух эволюц операторов: Пусть А и В – эволюц операторы кратностей и соотв-нно: И пусть -реакций операторов А и В соотв-нно на входные воздействия . Рассмотрим тензорное произ-ние . В силу билинейности и непрерывности тензорного произведения имеем: где -оператор сокращения переменных, действие которого на произвольную ф-цию f, имеющей независимых переменных, определяется формулой

Лемма1:Пусть a и b- финитные слева обобщённые вектор-функции n и m переменных соответственно, w и z- финитные слева скалярные обобщённые функции n и m переменных соответственно.Тогда сараведливо следующее равенство: (a*w) (2).

Применяя равенство (2) к соотношению (1),получаем =

Полагая же в равенстве (3) y=x, имеем: = Теорема (о тензорном произведении реакций двух эволюционных операторов): пусть А и В – эволюционные операторы: Тогда справедлива формула: (4)

_______________________________

Опр: Композицией мультииндекса будем наз-ть такой конечный набор мультииндексов , где , таких, что для любого выполняется рав-во т.е. . Мультииндексы наз-ся частями композиции . Множество всех композиций мультииндекса с m частями будем обозначать .