Доверительные интервалы для оценки параметров

Пусть для параметра а из опыта получена несмещенная оценка ã. Находится такое значение ε, для которого вероятность теоретического распределения равна Р(|ã – a|<ε)= β, где задаваемое значение β близко к 1. Вероятность β называется доверительной вероятностью, а интервал l_β = (ã – ε; ã + ε), в который с вероятностью β попадает параметр а, называется доверительным интервалом.

Пусть точечная оценка генеральной совокупности распределенной по нормальному закону. Обозначим неизвестную величину M_х (мат ожидание) через a . Необходимо найти при заданной надежности  число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P( – a < d) =  (4.10)

При нормальном распределении надо подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство или .

Для любого  [0;1] можно по таблице функции Лапласа (таблица 2 Приложения) найти такое число t, что (t)= /2. Число t иногда называют квантилем.

Теперь из равенства определим значение d: d =  t/ .

Окончательный результат получим, представив формулу (4.10) в виде:

.

Смысл данной формулы состоит в следующем: с надежностью  доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a = M_х генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M_х с точностью d= t / и надежностью .

Пример:

Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью  =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства  (t) =  / 2 = 0,495.

По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 /   1,24.

Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).■

Для нахождения доверительного интервала для оценки дисперсии Х из выборки определяется исправленная выборочная дисперсия s². Случайная величина распределена по закону ² c n –1 степенями свободы. По заданной надежности  можно найти сколько угодно границ ₁² и ₂² интервалов, таких, что

Границы доверительного интервала для дисперсии:

.

Значения ₁² и ₂² определяются по таблице распределения ² (таблица 3 Приложения).

Доверительный интервал для стандартного отклонения:

(4.11)

Пример:

Будем считать, что шум в кабинах вертолетов одного и того же типа при работающих в определенном режиме двигателях — случайная величина, распределенная по нормальному закону. Было случайным образом выбрано 20 вертолетов, и произведены замеры уровня шума (в децибеллах) в каждом из них. Исправленная выборочная дисперсия измерений оказалась равной 22,5. Найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное стандартное отклонение величины шума в кабинах вертолетов данного типа с надежностью 98%.

Решение. По числу степеней свободы, равному 19, и по вероятности (1 – 0,98)/2 = 0,01 находим из таблицы распределения ² величину ₂² = 36,2. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем ₁² = 7,63. Используя формулу (4.11), получаем искомый доверительный интервал: (3,44; 7,49).