5, Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме на расстоянии r12 друг от друга можно вычислить по:

(1)

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q1, q2,..., qn.

Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно: (2)

В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i№k). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N. Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:

, (3)

где ji - потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.

Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд qi, взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов qi, но не на их образование.

Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов qiиз бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:

(4) Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна ( при q>0, j>0, следовательно W>0, если q<0, то j<0, но W>0).

11, Диэлектрики - тела, плохо проводящие ток. В диэлектриках в отличие от проводников практически нет свободных зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния по всему объему тела. Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул (к такому типу диэлектриков относят все газовые диэлектрики, жидкие диэлектрики, а также часть твердых), либо из заряженных ионов, размещенных в узлах кристаллической решетки в определенных положениях равновесия. Ионные решетки могут быть разбиты на элементарные ячейки, каждая из которых содержит равное количество положительных и отрицательных зарядов и в целом нейтральна. Таким образом, в целом можно определить диэлектрик как вещество, построенное из нейтральных молекул, причем в случае ионной решетки под нейтральной молекулой следует понимать элементарную ячейку. Для характеристики диэлектрика в целом используют характеристику макроскопического объема диэлектрика - поляризованность, или вектор поляризации P. Под поляризованностью диэлектрика понимают электрический момент системы в единице объема , причем сумма берется по всем зарядам: электронам и атомным ядрам, находящимся в данном объеме V. Если диэлектрик состоит из множества нейтральных молекул, просуммировать следует сначала заряды, входящие в отдельные молекулы, что даст электрические моменты отдельных молекул pi, далее следует просуммировать полученные моменты по всем этим молекулам, т.о. поляризованность определяется векторной суммой электрических моментов молекул, находящихся в объеме диэлектрика: i. Первую группу диэлектриков (N2, Н2, О2, СО2,...) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. центры "тяжести" положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Второю группу диэлектриков (Н2О, NH3, SO2, СО2,...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т.е. центры "тяжести" положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. Третью группу диэлектриков (NaCl, КС1, КВг,...) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток.

15, Сегнетоэлектрики, кристаллические диэлектрики, обладающие в определённом интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий. Электрические свойства С. во многом подобны магнитным свойствам ферромагнетиков (отсюда название ферроэлектрики, принятое в зарубежной литературе). К числу наиболее исследованных и используемых на практике Сегнетоэлектрики. относятся титанат бария, сегнетова соль (давшая название всей группе кристаллов), триглицинсульфат, дигидрофосфат калия и др. (см. табл.). Известно несколько сотен Сегнетоэлектрики. Пьезоэле́ктрики — диэлектрики, в которых наблюдается пьезоэффект, то есть те, которые могут либо под действием деформации индуцировать электрический заряд на своей поверхности (прямой пьезоэффект), либо под влиянием внешнего электрического поля деформироваться (обратный пьезоэффект). Оба эффекта открыты братьями Жаком и Пьером Кюри в 1880—1881 гг. ПИРОЭЛЕКТРИКИ (от греч. pyr - огонь) - кристаллические диэлектрики, на поверхности которых при изменении температуры появляются электрические заряды. Пироэлектриками могут быть лишь нецентросимметричные кристаллы. Все пироэлектрики являются пьезоэлектриками (но не обратно), некоторые пироэлектрики обладают сегнетоэлектрическими свойствами (см. Сегнетоэлектрики). Типичный пироэлектрик - турмалин.

18, Как известно, заряд сосредоточивается на поверхности проводника, причем поверхность проводника эквипотенциальна. Разбивая эту поверхность на маленькие участки, каждый из которых имеет заряд Dq, и учитывая, что потенциал в месте расположения каждого из зарядов одинаков, имеем

(1)

Так как емкость проводника C=q/j , то выражение (1) может быть также представлено, как

20, Выражение для энергии в виде(1) можно истолковать так. Потенциальная энергия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому получается интегрированием по всему заряду. Оказывается, однако, что энергию можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, - через напряженность E.

Согласно уравнению Пуассона . Выразим отсюда r и подставим в (1)

(2)

Распишем подинтегральное выражение следующим образом

(3)

Тогда (2) перепишется, как

(4)

Преобразуем второй интеграл в (6.13) при помощи теоремы Остроградского -Гаусса из объемного в поверхностный

(5)

Возьмем поверхность, которая простирается до бесконечности, так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству. Пусть выбранная поверхность имеет форму сферы с центром в начале координат и стремящимся к бесконечности радиусом. Потенциал j изменяется с радиусом как 1/R, а grad j как 1/R2. Площадь же поверхности сферы растет как R2. Таким образом интеграл по поверхности убывает с ростом радиуса как (1/R)(1/R2)R2=(1/R). Итак, если интегрирование ведется по всему пространству, то поверхностный интеграл обратится в нуль и окончательно получим

(6)

Последнее соотношение можно толковать, говоря, что в том месте пространства, где присутствует электрическое поле, состредоточена и энергия, а плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

(7)

Если пространство заполнено изотропным диэлектриком, то выражение для плотности энергии будет иметь вид

(8)

Рассмотрим в качестве примера плоский конденсатор. Его энергия может быть представлена через заряд на обкладках согласно . Однако можно выразить его энергию и через поле между обкладками. Емкость плоского конденсатора равна

(9)

Подставим (9) в и получим

(10)

где V - объем пространства между пластинами. Откуда для плотности энергии получается выражение совпадающее с (8).

Где же в действительности локализована энергия - там, где заряд, (в данном случае на обкладках конденсатора) или там где, поле, (т.е. в зазоре между обкладками)? В рамках электростатики дать ответ на этот вопрос невозможно.

Меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов, откуда следует, что носителем энергии является поле. Рассмотрим, например, случай, когда движущиеся в антенне заряды возбуждают электромагнитные волны, которые, достигнув антенны приемника, приводят в движение заряды в его антенне. Передача сигнала при этом очевидно связана с передачей энергии. Электромагнитные волны распространяются с конечной скоростью, и им требуется некоторое время, чтобы покрыть расстояние от передатчика до приемника. Заряды в передающей антенне при этом уже не движутся, а в приемной еще не движутся. Очевидно, что энергия должна сохраняться во все моменты, в том числе и в этот промежуток времени. Остается сделать заключение, что энергия в этот промежуток времени локализована в электромагнитном поле волны. Движение зарядов в антенне начнется с приходом волны в ту точку, где расположен приемник, и это движение будет связано с электромагнитной энергией, принесенной волной.

Рассмотрим роль диэлектрика при определении плотности энергии. Представим (8) как

(11)

Первое из слагаемых в правой части совпадает с (7) и является, таким образом, плотностью энергии электрического поля в вакууме. Покажем, что второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика. Выразим работу при поляризации единицы объема диэлектрика как

(12)

Так как P = ke0E, то dP = ke0dE и dA =ke0EdE. Представим dA как

(13)

Откуда

(14)

что и требовалось показать.

71, При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит. Для волны, бегущей по оси x: Для волны, бегущей против оси x: Для простоты мы положили равным нулю значение начальных фаз этих волн. Сумма этих уравнений и дает уравнение стоячей волны:

Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов: Следовательно, координаты узлов: Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.

Для пучностей: Координаты пучностей:

70 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - такое наложение волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Необходимые условия для наблюдения интерференции:

1) волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы её можно было успеть зарегистрировать);

2) волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции (попробуйте сложить две перпендикулярные синусоиды!). Иными словами, складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные).

Волны, для которых выполняются эти два условия, называются КОГЕРЕНТНЫМИ. Первое условие иногда называют временной когерентностью, второе - пространственной когерентностью.

Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух одинаковых однонаправленных синусоид. Варьировать будем только их относительный сдвиг. Иными словами, мы складываем две когерентные волны, которые отличаются только начальными фазами (либо их источники сдвинуты друг относительно друга, либо то и другое вместе).

Если синусоиды расположены так, что их максимумы (и минимумы) совпадают в пространстве, произойдет их взаимное усиление.

Если же синусоиды сдвинуты друг относительно друга на полпериода, максимумы одной придутся на минимумы другой; синусоиды уничтожат друг друга, то есть произойдет их взаимное ослабление.

Математически это выглядит так. Складываем две волны:

здесь х1 и х2 - расстояния от источников волн до точки пространства, в которой мы наблюдаем результат наложения. Квадрат амплитуды результирующей волны (пропорциональный интенсивности волны) дается выражением: Максимум этого выражения есть 4A2, минимум - 0; всё зависит от разности начальных фаз и от так называемой разности хода волн D: При в данной точке пространства будет наблюдаться интерференционный максимум, при - интерференционный минимум.

В нашем простом примере источники волн и точка пространства, где мы наблюдаем интерференцию, находятся на одной прямой; вдоль этой прямой интерференционная картина для всех точек одинакова. Если же мы сдвинем точку наблюдения в сторону от прямой, соединяющей источники, мы попадем в область пространства, где интерференционная картина меняется от точки к точке. В этом случае мы будем наблюдать интерференцию волн с равными частотами и близкими волновыми векторами.

60, Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось X имеют разные знаки. Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:

Применив обозначения , , перепишем уравнение движения следующим образом:

Это уравнение описывает затухающие колебания системы. Коэффициент называется коэффициентом затухания.

график зависимости выглядит как косинус, умноженный на некоторую функцию, которая убывает со временем. Эта функция представлена на рисунке штриховыми линиями. Простой функцией, которая ведет себя подобным образом, является экспоненциальная функция . Поэтому решение можно записать в виде: где – частота затухающих колебаний.