Задача 1. Определение напряжений на координатных площадках Записать матрицу тензора напряжений. Вычислить касательные напряжения на координатных площадках.

Тело движется и деформируется под действием внешних сил, распределенных на его поверхности (внешние поверхностные силы) и по объему (внешние объемные или массовые силы). В результате в нем возникают напряжения как следствие уравновешивания внешних сил. Напряжением называется величина численно равная пределу отношения силы действующей на бесконечно малую область тела к площади этой области. Напряжение является мерой интенсивности внутренних сил, распределенных по сечениям, и характеризует прочность тела в точке, так как известно, что разрушение тела начинается в точке. Различают две компоненты напряжения: - нормальное напряжение, - касательное. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке.

Поскольку напряжение равно силе, отнесенной к площади, на которой она действует, единица измерения напряжения в системе СИ равна Н/м² (Па). Ввиду малости величины Н/м² на практике напряжения обычно измеряют в Н/мм² (МПа). Заметим, что 1 кгс/мм² =9,8067МПа.

Напряженное состояние точки характеризуется тензором напряжений Т и может быть определено, если известно напряжение на любой проведенной через нее площадке. Напряженное состояние тела в свою очередь характеризуется тензорным полем.

Т= Т (₁,₂,₃, t) и слагается из напряженных состояний в каждой его точке. Если тензор напряжений одинаков во всех точках тела, то его напряженное состояние называется однородным.

Тензором называется инвариантный математический объект, задаваемый с помощью 6 чисел.

Матрица тензора напряжений в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z имеет вид:

. (1)

Эта матрица симметрична, т. е или подробно:

Напряжения действуют на координатных площадках х, у, z.

Первый индекс в обозначении означает координатную ось, в направлении которой действует напряжение, а второй индекс означает координатную площадку, на которой оно действует. На главной диагонали матрицы располагаются нормальные напряжения, остальные напряжения являются касательными. Из курса сопротивления материалов известен закон парности касательных напряжений . Следовательно, матрица симметричная, т. е . Симметрия тензора напряжений является следствием закона сохранения момента импульса.

Касательные напряжения , действующие на координатных площадках, находим как геометрические суммы напряжений с различными индексами i и j (см. рисунок 1):

. (2)

Нормальные напряжения на координатных площадках х, у, z соответственно равны:

.

Задача 2. Графическое изображение компонент тензора напряжений Показать на рисунке напряжения, действующие на координатных площадках х, у, z, с учетом их знака и величины.

Вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела выбираем элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1) . Его ребра параллельны осям координат х, у, z.

Напряжения показываем по трем видимым граням параллелепипеда. Внешние нормали к этим граням направлены в положительные стороны координатных осей. Поэтому положительные напряжения направлены в положительные стороны координатных осей. Отрицательные напряжения направлены в отрицательные стороны координатных осей. На рисунке 1 все напряжения положительны, кроме и .

Правило знаков для нормальных напряжений, не связанное с определенной системой координат: напряжения на координатной площадке положительны, если направления напряжений и внешней нормали к координатной площадке совпадают либо с положительными, либо с отрицательными направлениями координатных осей.

Масштаб для напряжений следует выбрать таким, чтобы касательные напряжения не выходили за пределы граней параллелепипеда.