2. Задачи для решения на практическом занятии
2.1. Доказать, что сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей.
2.2. Окружность,
центром которой является точка биссектрисы
данного угла, пересекает стороны
этого угла в точках
и
.
Доказать, что: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.3.
Дан квадрат
.
Через его центр проведены две взаимно
перпендикулярные прямые
и
,
отличные от прямых
и
.
Доказать, что отрезки, высекаемые
квадратом на прямых
и
,
равны.
2.4.
На сторонах параллелограмма
во внешнюю сторону построены квадраты
,
,
и
.
Доказать, что
− параллелограмм.
2.5.
Даны две равные окружности, касающиеся
внешним образом в точке
.
Через точку
проведена прямая, пресекающая данные
окружности в точках
и
.
Через точки
и
проведены касательные
и
.
На них отложены отрезки
и
так, что
и точки
и
лежат по разные стороны от прямой
.
Доказать, что: а)
;
б) точки
и
лежат на одной прямой.
2.6. Окружности с центрами и имеют равные радиусы. Доказать, что прямая, параллельная и пересекающая эти окружности, высекает в них равные хорды. Решить задачу двумя способами (т.е. с помощью двух различных движений).
2.7.
Дана прямая
и точки
и
,
лежащие по одну сторону от нее. Доказать,
что на прямой
существует единственная точка
такая, что
имеет наименьшее значение.
2.8. На сторонах
и
квадрата
от вершин
и
отложены равные отрезки
и
.
Доказать, что четырехугольник
− квадрат.
3. Задачи для самостоятельного решения
3.1. Доказать, что разность оснований трапеции больше разности ее боковых сторон.
3.2.
Основания трапеции равны
и
(
).
Найти длину отрезка, соединяющего
середины диагоналей трапеции.
3.3.
Две прямые
и
,
содержащие точку пересечения диагоналей
параллелограмма, пересекают его стороны
соответственно в точках
и
,
и
.
Доказать, что
− параллелограмм.
3.4. Через центр правильного шестиугольника проведены две прямые и , угол между которыми равен . Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами шестиугольника, равны.
3.5.
На боковых сторонах
и
равнобедренного треугольника
построены равносторонние треугольники
и
во внешнюю сторону. Доказать, что: а)
(
− биссектриса угла
);
б)
;
в)
.
3.6.
На сторонах
и
параллелограмма
вне его построены правильные треугольники
и
,
а на сторонах
и
(также вне параллелограмма) – квадраты
и
с центрами
и
.
Доказать, что
и
− параллелограммы.
3.7.
Прямая
,
содержащая точку
,
в которой касаются две равные окружности,
пересекает окружности в точках
и
.
Доказать, что
.
3.8.
Две окружности
и
равных радиусов с центрами
и
касаются в точке
.
Через точку
проведены две прямые
и
так, что
.
Доказать, что
и
.
3.9.
Две точки
и
расположены по разные стороны от прямой
.
На прямой
найти точку
такую, что
.
Тема 9. Подобие плоскости. Гомотетия. Приложение гомотетии к решению задач