3.4. Виробнича функція Кобба – Дугласа

Ряд економічних показників моделюється за допомогою функції, що є композицією перерахованих функцій, що дозволяє також звести їх до лінійних. Найчастіше дана модель використовується при аналізі виробничих функцій.

Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили. Функцію Y = а₀ F^а1 L^а2, 0 < а₁ <1, 0 < а₂ <1 (15) називають виробничою функцією Кобба - Дугласа. У загальному вигляді права частина рівності може містити більшу кількість факторів.

Дана функція шляхом логарифмування зводиться до лог-лінійної моделі. Значення статистичних оцінок параметрів â₀, â_1, â₂ функції одержимо шляхом логарифмування

ln Y = ln а₀ + а₁ lnF + а₂ lnL + u (16)

У векторно-матричній формі запису модель набуде ви­гляду: Z = X·A + U, де

Z = , Х = , Â = , Û =

Тут оцінки â_1, â₂ - еластичності випуску за витратами капіталу й праці відповідно. Сума цих коефіцієнтів є таким важливим економічним показником, як віддача від масштабу:

• при â_{1 +} â₂ = 1 говорять про постійну віддачу від масштабу (у скільки разів збільшуються витрати ресурсів, у стільки ж раз збільшується випуск);

• при â₁ + â₂ < 1 має місце спадна віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску менше збільшення витрат ресурсів);

• при â_{1 +} â₂ > 1 — зростаюча віддача від масштабу (збільшення об'єму випуску більше збільшення витрат ресурсів).

4. Врахування випадкового відхилення

Для одержання якісних оцінок істотну роль грає виконання певних передумов МНК для випадкових відхилень. Найбільш важливі з них вимагають, щоб відхилення u_і були нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією ² , а також не корелювали один з одним (u_і ~ N(0, ²), cov (u_і, u_j) = 0 при i j, і, j =1, 2, ..., n). За невиконання зазначених передумов оцінки, отримані за МНК виявляться ненадійними.

У випадках, які не вимагають сукупного логарифмування з адитивним випадковим фактором, виконання передумов МНК має місце, а отже, проблем з оцінюванням не виникає.

Для опису можливих проблем із випадковим відхиленням скористаємося моделлю Y = аХ^β, доповнивши її випадковим фактором, який може входити у співвідношення по-різному. Розглянемо три можливих випадки:

Y = аХ ^βu^е (*) Y = аХ ^β u (**) Y = аХ ^β + u (***)

Дані моделі є нелінійними щодо параметрів (точніше, параметра β) При логарифмувавши кожне із цих співвідношень, відповідно одержимо:

1п Y = β₀ + β 1пХ + u, (#)

1п Y = β₀ + β 1пХ + 1п u, (# #)

1п Y = 1п (аХ ^β + u). (# # #) . Тут а = 1п а.

• Використання (#) для оцінки параметрів в (*) не викликає ускладнень, пов'язаних із випадковим відхиленням.

• Перетворення (**) до (# #) призводить до перетворення випадкових відхилень u_і у 1п u_і. Використання МНК в (# #) вимагає, щоб відхилення 1п u_і задовольняли передумовам МНК: N(0, ²). Але це можливо тільки у випадку логарифмічно нормального розподілу СВ u_і з М(u_і) = і D(u_і) = ( - 1).

• Логарифмування співвідношення (***) не призводить до лінеаризації співвідношення щодо параметрів. У цьому випадку для знаходження оцінок необхідно використовувати певні ітераційні процедури оцінки нелінійних регресій.