3.2. Свойства выборочных оценок

На начальном этапе в качестве оценки той или иной число­вой характеристики (математического ожидания, дисперсии и т.п.) берется выборочная числовая характеристика. Затем, исследуя эту оценку, ее уточняют таким образом, чтобы она удовлетворяла описанным выше свойствам.

Доказано, что выборочное среднее = является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания M(X) генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия = является смещенной оценкой дисперсии D(X)= СВ Х генеральной совокупности, так как доказано, что = . Иными словами, выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию с недостатком. Хотя при n→∞ →1,оценка является асимптотически несмещенной, в качестве оценки дисперсии D(X) удобнее брать исправленную дисперсию:

= = (3.1)

Исправленная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D(X) СВ X.

Аналогично вводится исправленное среднее квадратическое отклонение или так называемый эмпирический стандарт S:

S= = = (3.2)

Отметим, что при п > 30 различие между и S² ( и S) практически незначимо. Поэтому при большом объеме вы­борки и ту, и другую оценки можно считать несмещенными. В дальнейшем оценки дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения σ(Х) будем обозначать и S соответ­ственно.

Относительная частота является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности P(X= ). Аналогично эмпирическая функция распределения (x)= (накопленная относительная частота) является несмещенной и состоятельной оценкой (теоретической) функции распределения F(x)=P(X<x).

3.3. Интервальные оценки

После получения точечной оценки желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для небольших выборок (по­скольку с возрастанием объема п выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утвержде­ниями математической статистики). Поэтому точечная оцен­ка может быть дополнена интервальной оценкой, — интерва­лом ( , ), внутри которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение оцениваемого параметра θ. Зада­чу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал — доверительным интерва­лом. При этом γ называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр θ попадает в интервал ( , ).

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число α=1-γ, 0 < α < 1, называемое уровнем значимости, и находят два числа и , зависящих от точечной оценки , такие, что

P( < θ < )= 1-α = γ. (3.3)

В этом случае говорят, что интервал ( , ) накрывает неизвестный параметр θ с вероятностью (1-α), или в 100(1-α)% случаев. Границы интервала и называются P(θ < ) = P( θ > ) = α/2 (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надеж­ности γ (уровня значимости α = 1 - γ). При увеличении величи­ны п длина доверительного интервала уменьшается, а с прибли­жением надежности γ к единице — увеличивается. Выбор α (или γ = 1 — α) определяется конкретными условиями. Обычно используется α= 0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99%-м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределе­нием f(x, θ) СВ X извлекается выборка объема п, по которой находится точечная оценка параметра θ.

2. Строится СВ Y(θ), связанная с параметром θ и имеющая известную плотность вероятности f(y, θ).

3.Задается уровень значимости α.

4.Используя плотность СВ Y, определяют два числа и такие, что

P( < Y(θ) < ) = . (3.4)

Значения и выбираются, как правило, из условий

P(Y(θ) < = α/2; P(Y(θ) > =α/2.

Неравенство < Y(θ) < преобразуется в равносильное

такое, что P(

Полученный интервал ( , накрывающий неизвестный параметр θ с вероятностью 1-α, и является интервальной оценкой параметра θ.

Интервальная оценка также носит случайный характер, так как она напрямую связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод. Если построен доверительный интервал, который с надежностью γ=1-α накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по K выборкам одинакового объема n, то в (1-α)K случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров CВ, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.