1. Моделирование переходного процесса в системе

Структурная схема моделируемой системы::

Воспользуемся схемой замещения колебательного звена для представления передаточной функции объекта, которая является апериодическим звеном 2-го порядка.

Получаем:

В результате получили исходную схему:

В качестве входного сигнала X(t) использовали блок Step со следующими параметрами:

В качестве ограничителя, который реализует ограничение сигнала использовали блок Saturation с параметрами:

В качестве помехи f(t)=0.1sin(0.25t) использовании блок Sine Wave с параметрами:

В качестве погрешности φ(t), представляющей собой белый шум с нулевым средним, с нормальным законом распределения и с.к.о. σ=0,004 использовали блок Random Number с параметрами:

В результате работы системы получили два графика, приведенные ниже.

График выходного сигнала после ограничителя U(t):

График выходного сигнала Y(t):

Для всех линейных звеньев первого порядка уравнение выхода звена имеет вид:

y_n = α₁∙y_n-1+ α₂∙x_n+ α₃∙x_n-1

где α₁, α₂, α₃ – числовые коэффициенты, зависящие от типа и параметров звена, а также от выбранной величины интервала Δt. Для высокой точности моделирования переходных процессов в звене Δt должно быть достаточно малым. Значения коэффициентов и максимально допустимые величины интервалов для звеньев первого порядка берем из таблицы.

Передаточная функция звена
	1
	0
	0

Определим эти коэффициенты и интервал Δt для звеньев первого порядка, рассматриваемых в текущей схеме:

1) Коэффициенты 1-го звена( ):

а21=1;

а22 =0.4∆t/2;

а23 = a22;

2) Коэффициенты 2-го звена( ):

а21= exp(-∆t /0.1);

а22= (5/∆t)*(1-a21);

а23= -a22;

3) Коэффициенты 3-го звена( ):

а31= exp(-∆t /0.2);

а32= (2/∆t)*(0.2*a31-0.2+∆t);

а33= (-2/∆t)*(0.2*a31-0.2+a31*∆t);

4) Коэффициенты 4-го звена( ):

а41= exp(-∆t /0.17);

а42= (1/∆t)*(0.17*a41-0.17+∆t);

а43= (-1/∆t)*(0.17*a41-0.17+a41*∆t);

5) Коэффициенты 5-го звена( ):

а51= 1;

а52 = 1*∆t /2;

а53 = a52;

Из рассчитанных периодов дискретности выбираем наименьший, т.к. принятая при моделировании величина Δt не должна превышать Δt_max ни для одного из звеньев, входящих в систему.

2. Идентификация объекта управления

Под идентификацией объектов понимается построение их математических моделей в результате статистической обработки экспериментальных данных, полученных при функционировании объекта. Если априорная информация об идентифицируемом объекте позволила выбрать структуру модели (общий вид математических соотношений, связывающих входы и выходы) и задача идентификации состоит в определении параметров модели (коэффициентов усиления постоянных времени и т.п.), то задачу идентификации называют задачей идентификации в узком смысле или оцениванием параметров. Если же и структуру, и параметры модели предстоит установить в процессе идентификации, то речь идет об идентификации в широком смысле слова. В дальнейшем, говоря об идентификации, будем иметь в виду оценивание параметров.

В процессе идентификации экспериментальные данные могут обрабатываться при помощи различных статистических методов. Одним из наиболее распространенных методов идентификации является метод наименьших квадратов (МНК).

Суть данного метода: при одном и том же u(i) последовательность y_м(i) зависит от вектора параметров А модели объекта. В состав вектора А входят коэффициент усиления К и постоянные времени Т_j модели объекта.

,

где A – вектор неизвестных параметров модели; y(0) – значение выхода моделируемого объекта в начальный момент времени t₀; u(i) – вход объекта.

В процессе идентификации объекта вектор A стремятся выбрать так, чтобы последовательность y_M(i) была как можно ближе к экспериментальным значениям y(i). В качестве меры близости чаще всего выбирают функционал F, представляющий собой сумму квадратов разностей между модельными и наблюдаемыми значениями:

,

где N – дискретное время моделирования.

Полученная таким образом оценка A называется оценкой метода наименьших квадратов (МНК–оценкой).

Идентификация объекта управления с помощьюMatlab.

В этом разделе будет рассмотрена идентификация объекта при помощи МНК в Matlab. Для этого из выходного сигнала САУ вычтем сигнал, идущий с идентифицируемой передаточной функции, на которую подается управляющий сигнал, идентичный сигналу, подаваемому на объект. Затем, полученная разность возводится в квадрат и интегрируется, после этого полученный сигнал подается в оптимизирующий блок SignalConstraint.

Результат идентификации в среде Matlab:

1. Передаточная функция

Графики после оптимизации параметров (k =0.7743, t1 =7.8769, t2=5.4327)

2.Передаточная функция

Графики после оптимизации параметров (k =0.7956, t1=0.0664, t2=5.9213)

В данном разделе решили задачу идентификации, заключающуюся в определении параметров модели (коэффициент усиления, постоянные времени). Судя по полученным данным можно сказать, что передаточная функция наиболее точно описывает наш объект, чем .