4.4. Сведение некоторых нелинейных зависимостей к случаю линейной зависимости (метод линеаризации)

В 4.3 мы подробно остановились на линейной эмпирической формуле, так как в этом случае формулы для нахождения параметров и имеют простой вид. Оказывается, что любую из приведенных в 4.2 зависимостей можно свести к линейной путем несложных преобразо­ваний.

Например, логарифмируя формулу (5), получим . Теперь, вводя новые неизвестные , и переобозначив параметры , , приходим к линейкой зависимости . Пос­ле нахождения коэффициентов А и В описанным в 4.3 методом, исходные параметры найдем по обратным формулам , .

Упражнение 4. Покажите, как остальные зависимости из 4.2 можно свести к линейной зависимости.

4.5. Пример нахождения коэффициентов эмпирической формулы в случае

двухпараметрической зависимости.

Пусть дана таблица экспериментальных данных:

	1	2	3	4	5	6
	2,11	2,45	2,61	2,73	2,75	2,81

И зобразим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:

Остановим свой выбор на формуле (9). Проведем преобразования переменных , и переобозначим коэффициенты , . Получим новую таблицу данных (округления проведем с точностью до 4-х знаков после запятой):

	1,0000	0,5000	0,3333	0,2500	0,2000	0,1667
	0,4739	0,4082	0,3831	0,3663	0,3636	0,3559

Для нахождения коэффициентов линейной зависимости проведем необходимые вычисления коэффициентов системы и : , , , , . Получили систему линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов и : . Решая ее, получим: , , или . Переходя к «старым» переменным, получим окончательный вид эмпирической формулы: .

Попробуем теперь провести вычисления для формулы (5) (случай ). Прологарифмируем соотношение (5) и проведем преобразования переменных , и переобозначим коэффициенты , . Получим новую таблицу данных (округления проведем с точностью до 4-х знаков после запятой):

	0,0000	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094	1,7918
	0,7467	0,8961	0,9594	1,0043	1,0116	1,0332

Для нахождения коэффициентов линейной зависимости проведем необходимые вычисления коэффициентов системы и : , , , , . Получили систему линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов и : . Решая ее, получим: , , или . Переходя к «старым» переменным, получим окончательный вид эмпирической формулы: .

Замечание. Если мы имеем дело с нелинейной зависимостью вида (2)–(9), параметры которой мы находим, используя метод линеаризации, то мы не находим именно ту функцию, , для которой величина является минимальной, а получаем только функцию, близкую к данной. Следует учесть в данном аспекте, что мы выбираем нужную зависимость весьма субъективно (используя эмпирические точки) и не всегда можем «угадать». Тогда следует поступать следующим образом: сделать расчеты для нескольких наиболее приемлемых зависимостей, а затем выбрать именно ту, для которой величина будет наименьшей. Конечно, данный процесс будет эффективным только при использовании компьютерной техники.

Следуя этому замечанию, составим таблицу:

	1	2	3	4	5	6
	2,11	2,45	2,61	2,73	2,75	2,81
	2,1035	2,4704	2,6228	2,7064	2,7591	2,7954
	2,1525	2,4040	2,5645	2,6848	2,7820	2,8640
	0,0065	0,0204	0,0128	0,0236	0,0091	0,0146
	0,0425	0,0460	0,0455	0,0452	0,0320	0,0540

Из таблицы видно, что максимальная абсолютная погрешность для первой формулы составила , а для второй формулы (что намного больше). Таким образом, аппроксимация формулой более точная.