15.Решение систем ду нормального типа методом повышения порядка.

16. Решение систем ду с постоянными коэффициентами методом характеристических уравнений.

(*)

- система линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, где коэффициенты , t- аргумент, x_l(t), x₂(t), ... , x_n(t)-искомые ф-ии.

Найдем частное решение системы в виде:

Требуется определить постоянные и k так, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений (*). Подставим в (*):

(#)

Составим определитель:

Если k таково, что определитель Δ , то .

Т.о., нетривиальные решения получим при таких k, при которых Δ . Уравнение n-го порядка для определения k

называется характеристическим уравнением для системы (*), его корни называются корнями характери­стического уравнения.

Рассмотрим случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительные и различные. k₁, k₂, k₃ - корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_i напишем систему и определим коэффициенты

Для корня k₁ решение системы:

Для корня k₂ решение системы:

Для корня k₃ решение системы:

- общее решение системы (*), где С₁, С₂, С₃ - произвольные постоянные.

II. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется 2 комплексных сопряженных корня: .

Этим корням будут соответствовать решения

Коэффициенты определяются из системы уравнений (#). Частные решения:

где - действительные числа, определяемые через .