2.Метрические задачи

Все метрические задачи условно можно разбить на две группы:

1) задачи, связанные с прямыми;

2) задачи, связанные с плоскостями

2.1.Задачи первой группы

Почти все задачи этой группы связаны с определением расстояний между различного вида прямыми.

2.1.1.Определение расстояния от точки до прямой

Пусть дана прямая общего положения и точка. Найти расстояние от точки до прямой.

а) б)

Рис. 8

На рис.8а задана задача в общем виде. Решение этой задачи проводится через задание плоскости, перпендикулярной прямой l (см. задачу №54 из рабочей тетради).

На рис. 8б прямая занимает проецирующее положение, а, следовательно, расстояние от K до l равно расстоянию от K₁ до l₁.

2.1.2.Определение расстояния между параллельными прямыми

а) б)

Рис. 9

На рис. 9б расстояние между l и m задано как расстояние между l₁ и m₁.

2.1.3.Расстояние между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые - это прямые, не имеющие общих точек, но непараллельные.

а) б)

Рис.10

В общем виде решение этой задачи выполняется сложно (рис. 10а), в частном же виде (рис.10б) решение сводится к проведению перпендикуляра из т. а₁ на b₁ –получаем кратчайшее расстояние между а и b.

2.1.4.Определение натуральной величины двугранного угла

Двугранный угол- это угол, образованный двумя плоскостями.

Две плоскости пересекаются по прямой. Эта прямая является ребром двугранного угла. Если это ребро перпендикулярно плоскости проекций, то двугранный угол на эту плоскость проецируется в плоский, который является натуральной величиной двугранного угла (рис.11)

Рис.11

Что объединяет вышеперечисленные задачи? Их объединяют частные случаи, в которых задачи решаются просто, так как прямая или обе прямые занимают проецирующие положения. Следовательно для решения задач этой группы нужно преобразовать исходный чертеж так, чтобы прямая (или обе прямые) заняли бы проецирующие положения.

2.1.5.Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую

Это преобразование проводится в два этапа:

1. Преобразуем прямую общего положения в прямую уровня

Рис. 12

На рисунке 12 видно, что одна проекция прямых уровня расположена параллельно оси проекций Х. Следовательно, для преобразования прямой общего положения в прямую уровня надо новую ось проекций Х’ выбрать параллельно одной из проекций прямой (рис.13).

2. Продолжая замену плоскостей проекций, преобразуем прямую уровня в проецирующую прямую.

Для этого ось проекций X^// выбираем перпендикулярно l₄, тогда на плоскость П₅ прямая l спроецируется в точку (рис. 13).

Рис.13

Это преобразование лежит в основе решения задач 1 группы.

2.1.6.Пример решения задачи первой группы

Разберем решение задачи по определению кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми. Для решения на каждой прямой берем по две точки и одну из прямых преобразуем в проецирующую, не забывая преобразовывать и вторую прямую (рис.14).

Рис.14

В системе плоскостей проекций П₄-П₅ решение сведено к частному случаю.

2.2.Задачи второй группы

Задачи второй группы касаются плоскостей.

2.2.1.Определение расстояния от точки до плоскости

Для нахождения расстояния от точки до плоскости нужно:

1.Провести через точку прямую, перпендикулярную плоскости. Для этого надо в плоскости провести главные линии: горизонталь и фронталь.

2. Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. Полученный отрезок будет являться отрезком общего положения.

3. Найти натуральную величину полученного отрезка.

Решение задачи в общем виде выполняется довольно сложно.

а) б)

Рис.15

На рис.15а задача задана в общем виде, а на рис15бв частном, а именно, плоскость, заданная пересекающимися прямыми а и b перпендикулярна плоскости П₂, т.е. она фронтально проецирующая. Расстояние от т.К до плоскости в этом случае есть расстояние от К₂ до прямой, в которую спроецировалась плоскость (а₂ b₂).