- •1.2. Классиф-ия ф-й и способы их задания.
- •I. Определения и способы задания ф-й.
- •II. Общие св-ва функции.
- •1.6. Основные теоремы теории пределов.
- •I. О представлении ф-и, имеющей предел.
- •II. О единственности предела.
- •III. О пределе промежуточной функции.
- •IV. Арифметические операции над пределами.
- •1.10. Опред. Непрерывности ф-и в точке.
- •1.14. Непрерывность осн. Элем. Ф-й.
- •1.22. Дифференцирование ф-й, заданных параметрически.
- •2.5. Формула интегрирования по частям и ее применение к конкретным типам подынтегральных ф-й: Pn(X)ln X, Pn(X)sin bx, Pn(X)cos bx и т.Д., где Pn(X) – многочлен n-ой степени.
- •2.17. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
- •1.29. Асимптоты. Их виды и способы отыскания.
- •1.26. Признак монотонности. Схема исследования на монотонность.
- •2.13. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2.1. Определение первообразной и основные св-ва первообразной.
2.1. Определение первообразной и основные св-ва первообразной.
Дифференцируемая ф-я F(x) называется первообразной для (x), если F'(x)=(x).
Отметим след. св-ва первообразной:
Если F(x) – первообр. для (x) F(x)+C – также первообр. для (x) (C – произвольная константа).
Док-во:
возьмем (F(x)+C)'=F'(x)=(x), ч.т.д.
Если F1(x) и F2(x) – какие-либо первообр. для ф-и (x), то F1(x)–F2(x)const
Док-во:
обозначим F1(x)–F2(x)=(x) – некоторая ф-я x, и применим к ней теорему Лагранжа. Рассм. точки x2 и x1 и сост. приращ. ф-и : (x2)–(x1)='()(x2–x1), (x1;x2)
Найдем '(x)=F1'(x)–F2'(x)=(x)–(x)0
'()=0 (x2)–(x1)0 (x2)=(x1)=const, т.е.
ф-я не менятся
Пример.
Рассм. F1(x)=arctg x
F2(x)=–arcctg x
очевидно, что (arctg x)'=1/(1+x2)
(–arcctg x)'=1/(1+x2),
т.е. F1(x) и F2(x) явл. первообр. для ф-и (x)=1/(1+x2)
F1(x)–F2(x)=arctg x–(–arcctg x)=arctg x+arcctg x=const=/2