4.2. Дисперсия с.В.

Дисперсией случайной величины ξ называется величина Dξ, равная математическому ожиданию квадрата отклонения с.в. от своего математического ожидания: Dξ = М(ξ – Мξ)². Дисперсия дискретной с.в.: .

Дисперсия непрерывной с.в.: , или .

Свойства дисперсии:

1) DС = 0, где С = const;

2) D(C) = C²D, где С = const;

3) D(  ) = D + D, если с.в.  и  независимы;4) для любых постоянных C₀, C₁, … , C_n, если с.в. ₁, … , _n независимы.

Среднее квадратическое отклонение с.в.

_.

Смысл дисперсии и квадр. отклонения.

Дисперсия Dξ имеет размерность квадрата размерности с.в. ξ. Для практических же целей удобнее иметь характеристику, размерность которой совпадает с размерностью с.в. ξ. В качестве такой меры используется среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

4.3.Моменты с.В.

Начальным моментом r-го порядка (r=1,2,…) с.в. ξ называется величина α_r, равная математическому ожиданию r-й степени с.в. ξ: α_r=M(ξ^r).

Центральным моментом r-го порядка (r=1,2,…) с.в. ξ называется величина μ_r, равная математическому ожиданию r-й степени отклонения с.в. от своего математического ожидания: μ_r=M(ξ - Mξ)^r.

Формула для вычисления начальных моментов:

Дискретной с.в.: α_r= .

Непрерывной с.в.: α_r= .

Формула для вычисления центральных моментов

Дискретной с.в.: μ_r= .

Непрерывной с.в.: μ_r=

Центральные моменты μ_r высших порядков можно также выразить через начальные моменты α₁,α₂,…,α_r. Действенно, в силу формулы бинома Ньютона и линейности математического ожидания получаем: μ_r=M(ξ-α₁)^r = M = = .

4.4.Вероятностный смысл параметров некоторых распределений.

Дискретные распределения

-Вырожденное. Пусть с.в. ξ имеет вырожденное распределение, сосредоточенное в C, т.е. P{ξ=C}=1. Тогда Mξ=MC=C, Dξ=DC=0.

-Распр. Бернулли. Предположим, что с.в. ξ имеет распределение Бернулли с параметром p. Если с.в. ξ~B(p), то Mξ=p, Dξ=pq, где q=1 – p.

-Биноминальное. Пусть ξ – с.в., имеющая биноминальное распределение с параметрами n и p. Если с.в. ξ~B(n,p), то Mξ=np, Dξ=npq.

-Геометрическое. Предположим, что с.в. ξ имеет геометрическое распределение с параметром p. Тогда Mξ=1/p, Dξ=q/p².

-Распр. Пуассона. Пусть с.в. ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ. Если с.в. ξ~П(λ), то Mξ=Dξ=λ.

Непрерывные распределения

-Равномерное. Пусть ξ – с.в., имеющая равномерное распределение на отрезке [a,b]. Если с.в. ξ~U(a,b), то Mξ=(a+b)/2, Dξ=(b-a)²/12.

-Показательное. Пусть с.в. ξ имеет показательное распределение с параметром λ. Тогда Mξ=1/λ=σ_ξ,, Dξ=1/λ².

-Нормальное. Пусть с.в. ξ распределена по нормальному закону с параметрами a и σ. Тогда Mξ=a, Dξ=σ².

5.1.Неравенство Чебышева

Пусть ξ –произвольная случайная величина. Если существует Dξ, то при любом ε>0 справедливо неравенство

P{|ξ - Mξ|<ε}≤ .

Следствие 1. Если случайная величина ξ имеет конечную дисперсию Dξ, то для любого ε>0

P{|ξ - Mξ|≤ε}≥1 – Dξ/ε². Док-во непосредственно вытекает из неравенства Чебышева, если перейти к противоположному событию. Следствие 2. Если случайная величина ξ имеет конечную дисперсию Dξ, то для любого ε>0 P{ξ>Mξ+ε}≤Dξ/ε². Док-во. Имеем

P{ξ>Mξ+ε} = P{ξ – Mξ>ε} ≤ P{ξ – Mξ>ε} + + P{ξ – Mξ> - ε} = P{|ξ - Mξ|>ε}, отсюда в силу неравенства Чебышева получаем P{ξ>Mξ+ε}≤Dξ/ε².

Оценим вероятность того, что отклонение с.в. ξ от своего среднего значения Mξ не превысит «трёх сигм». Положив в неравенстве

P{|ξ - Mξ|<ε}≤ ε=3σ_ξ получим

P{|ξ – Mξ|≤3σ_ξ}≥1 – Dξ/9σ_ξ²=8/9 ≈0,889.

Согласно правилу «трёх сигм» для нормально распределенной с.в. ξ эта вероятность равна 0,9973. Данный пример показывает, что ни от какого утверждения, имеющего большую общность, нельзя ожидать точных результатов в частных случаях.

3.2.Фун-ия распредел-ия с.в. , ее св-ва. Функцией распределения случайной величины  называется функция F(x) действительной переменной x, выражающая для каждого значения xR вероятность того, что с.в.  примет какое-либо значение, меньшее x: F(x) = P{ < x}, –  < x < . Функция распределения F(x) любой с.в.  обладает следующими свойствами. 1). Функция распределения определена при всех xR и 0  F(x)  1. 2).Функция распределения является неубывающей функцией: если x₁ < x₂, то F(x₁)  F(x₂). 3. Функция распределения – функция непрерывная слева: . 4. Функция распределения удовлетворяет следующим предельным соотношениям: