2.2.3.Метод хорд
Метод хорд [7] заключается в замене кривой y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) (см. рис. 2.6). Абсцисса точки пересечения прямой с осью OX принимается за очередное приближение.
Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая y нулю, найдем x:
.
Рис.2.6.
Метод хорд
Алгоритм метода хорд:
1) Пусть k = 0;
2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1; Найдем очередное k-ое приближение по формуле: xk = a – f(a)(b – a)/(f(b) – f(a)); Вычислим f(xk).
3) Если f(xk)= 0 (корень найден), то переходим к 5).
Если f(xk)f(b) > 0, то b = xk, иначе a = xk.
4) Если |xk – xk-1| > ε, то переходим к шагу 2);
5) Выводим значение корня xk.
6) Конец.
Замечание. Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 2.6, a)) или вогнутый вниз (рис. 2.6, b)). Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.
Пример 2.6. Применим метод хорд к уравнению sin 5x + x2 – 1 = 0 и отрезку [0,2; 0,3] для определения корня с точностью до ε = 0,001.
Решение. Проведем расчеты в программе Excel:
1) В ячейки A1:H1 запишем заголовки столбцов как в табл. 2.6;
2) В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2<0;B2;D2) и затем ячейку B3 протянем маркером заполнения до ячейки B10;
3) В ячейку C2 запишем формулу =SIN(5*B2)+B2^2-1 и затем ячейку C2 протянем маркером заполнения до ячейки C10;
4) В ячейку D2 запишем формулу =B2-C2*(F2-B2)/(G2-C2) и затем ячейку D2 протянем маркером заполнения до ячейки D10;
5) В ячейку E2 запишем формулу =SIN(5*D2)+D2^2-1 и затем ячейку E2 протянем маркером заполнения до ячейки E10;
6) В ячейку F3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2<0;D2;F2) и затем ячейку F3 протянем маркером заполнения до ячейки F10;
7) В ячейку G2 запишем формулу =SIN(5*F2)+F2^2-1 и затем ячейку G2 протянем маркером заполнения до ячейки G10;
8) В ячейку H2 запишем формулу =ABS(F2-B2) и затем ячейку H2 протянем маркером заполнения до ячейки H10;
В таблице 2.8 приведены результаты. Необходимая точность достигается на шаге k = 4.
Таблица 2.8
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
1 |
k |
a |
f(a) |
x |
f(x) |
b |
f(b) |
|b-a| |
2 |
1 |
0,2 |
-0,11853 |
0,25753165 |
0,026506 |
0,3 |
0,0874949 |
0,1 |
3 |
2 |
0,2 |
-0,11853 |
0,24701739 |
0,005194 |
0,25753165 |
0,026506 |
0,01051 |
4 |
3 |
0,2 |
-0,11853 |
0,24504339 |
0,000926 |
0,24701739 |
0,0051944 |
0,00197 |
5 |
4 |
0,2 |
-0,11853 |
0,24469436 |
0,000162 |
0,2450434 |
0,0009256 |
0,00035 |
Решение в программе Mathcad:
Как видим, результаты расчетов согласуются с предыдущими ответами.
Приведем программу, которая реализует метод хорд на языке C++:
#include <iostream.h>
#include <math.h>
double f(double x);
typedef double (*PF)(double);
double hord(PF f,double a, double b,double eps, int Kmax);
int main(){
double a, b, x, eps;PF pf; int Kmax;
cout << "\n a = "; cin >> a;
cout << "\n b = "; cin >> b;
cout << "\n eps = "; cin >> eps;
cout << "\n Kmax = "; cin >> Kmax;
pf = f;
x = hord(pf,a,b,eps, Kmax); cout << "\n x = " << x;
cout << "\n Press any key & Enter "; cin >> a;
return 0;
}
double f(double x){
double r;
r = sin(5*x)+x*x-1;
return r ;
}
double hord(PF f, double a, double b,double eps,int Kmax){
double xk, xk1, xerr; int k = 0;
xk = a;
do{ k = k + 1; if(k > Kmax)break;
xk1 = a - f(a)*(b - a)/(f(b) - f(a));
if (f(xk1) == 0) break;
xerr = fabs(xk1 - xk); xk = xk1;
if (f(xk1)*f(b) > 0) b = xk1;
else a = xk1;
}while (xerr > eps);
return xk1;
}
Результат расчета для примера 2.6:
a = 0.2
b = 0.3
eps = 0.0001
Kmax = 100
x = 0.244633
Press any key & Enter
Как видим, результат совпадает с предыдущими расчетами.