6.1.2.Формула трапеций

Положим в формулах (6.6) n = 1 и вычислим значения A_i:

Мы заменили подынтегральную функцию многочленом Лагранжа первой степени и получили формулу трапеций:

. (6.13)

Геометрический смысл формулы трапеций (6.13) заключается в том, что кривая y = y(x) заменяется отрезком прямой, проходящей через точки (x₀, y₀) и (x₁, y₁), или, в других обозначениях, (a, y(a)) и (b, y(b)) (рис.6.3).

Рис.6.3

Заметим, что формулы трапеций и средних прямоугольников являются точными для линейной функции.

Если обобщить (6.13) для равномерного разбиения отрезка на n частей, то приходим к общей формуле трапеций (рис.6.4):

(6.14)

Рис.6.4

Погрешность формулы трапеций (6.13) есть величина порядка O(h³). В этом можно убедиться, используя формулу погрешности интерполяционной формулы Лагранжа. А для общей формулы трапеций (6.14) погрешность есть величина порядка O(h²), так как при суммировании погрешности накапливаются.

Пример 6.1. Вычислить по формуле трапеций (6.14) интеграл

,

используя разбиение отрезка на n = 10 частей.

Решение. Проведем вычисления в Excel. В столбцах A и B запишем значения индекса i и переменной x. В ячейку B2 вводим формулу =sin(B2)/B2 и маркером заполнения копируем в ячейки B3:B12. В ячейках D2:D12 вводим коэффициенты при y_i общей формулы трапеций (6.14). В ячейку D13 вводим формулу =СУММПРОИЗВ(C2:C12;D2:D12)*0,1. Результаты вычислений приведены в таблице 6.1.

Табл. 6.1

	A	B	C	D
1	i	xi	yi	Коэффициенты
2	0	1	1	0,5
3	1	1,1	0,909091	1
4	2	1,2	0,833333	1
5	3	1,3	0,769231	1
6	4	1,4	0,714286	1
7	5	1,5	0,666667	1
8	6	1,6	0,625	1
9	7	1,7	0,588235	1
10	8	1,8	0,555556	1
11	9	1,9	0,526316	1
12	10	2	0,5	0,5
13		Интеграл=		0,693771

Точное значение интеграла равно

Относительная погрешность составляет

Создадим в этом же файле программы Excel макрос — функцию для вычисления интеграла по формуле трапеций (6.14).

С помощью меню «Сервис — Макроc — Редактор Visual Basic» откроем окно редактора, выполним команду «Insert — Module» и введем программы

Function f(x): f = 1 / x: End Function

Function Int_tr(a, b, n)

s = 0: h = (b - a) / n: x = a

For i = 1 To n - 1: x = x + h: s = s + f(x): Next i

Int_tr = h * (s + (f(a) + f(b)) / 2)

End Function

Переходим в Excel и введем в любую свободную ячейку (например, в D14) формулу =Int_tr(1; 2; 100), получим значение 0,693153. Это значение вычислено с шагом h =0,01 и поэтому оно ближе к точному значению интеграла, чем значение, полученное в таблице 6.1.

Чтобы вычислить интеграл от другой функции, надо изменить описание функции

Function f(x): f = 1 / x: End Function

Например, вычислим интеграл . Для этого в описании функции заменим формулу на новую, т.е. введем

Function f(x): f = sin(x): End Function

Тогда в ячейке D14 изменится значение интеграла, так как изменилась подынтегральная функция. Исправим в ячейке D14 формулу, введем новые пределы: =Int_tr(0; 3,1415926; 100). Получим значение 1,999836. Точное значение интеграла равно 2.