Карточка 4

1. Сформулируйте свойство скалярного произведения векторов. Докажите некоторые из этих свойств.

2. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами. (a+b+c) p = --------

2

3. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A(-6;-4;0) B(6;-6;2) C(10;0;4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: A (-6; -4; 0), B(6; -6; 2), C (10; 0; 4). Найдите координаты точки D и угол между векторами AC и BD. а) Каждая сторона параллелограмма является параллельным переносом противолежащей стороны. При параллельном переносе отрезка в пространстве, каждая его произвольная точка (x; y; z) переходит в точку с координатами (x + a; y + b; z + c) Найдем числа a, b, c в случае параллельного переноса отрезка AB в отрезок CD. Для этого рассмотрим параллельный перенос точки B в точку C: (6 + a; -6 + b; 2 + c) = (10; 0; 4) Соответственно: a = 10 – 6 = 4; b = 0 – (-6) = 6; c = 4 – 2 = 2 Аналогично рассмотрим параллельный перенос точки A в точку D: (-6 + a; -4 + b; 0 + c) = (-6 + 4; -4 + 6; 0 + 2) = (-2; 2; 2) Следовательно, координаты точки D (-2; 2; 2) б) Координатами вектора AC будут: 10 – (-6) = 16, 0 – (-4) = 4, 4 – 0 = 4; |AC| = sqrt(16^2 + 4^2 + 4^2) |AC| = sqrt(288) Координатами вектора BD будут: -2 – 6 = -8, 2 – (-6) = 8, 2 – 2 = 0; |BD| = sqrt((-8)^2 + 8^2 + 0^2) |BD| = sqrt(128) Значит, cos a = AC*BD : |AC|*|BD| = (16*(-8) + 4*8 + 4*0): sqrt(128) * sqrt(288) = -96 : 192 = -0,5 Следовательно, угол равен 120*

Карточка 5

1. Докажите, что центральная и осевая симметрии являются движениями.

2. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами. Косинус угла между векторами   и  , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах   и  .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть  . Если векторы   и   ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов   и  , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:  . Эту формулу можно 

3. Даны векторы a{1;-2;-1}, b{-3;1;4}, c{3;4;-2} d{2;-1;3} Вычислить (a + 2b)(c-d).

Карточка 6

1. Докажите, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями. Учитель В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости. Движение – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния между точками. Теперь будем рассматривать отображение пространства на себя. Это значит, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М₁, причём любая точка М₁ пространства оказывается поставленной в соответствие какой-то точке М.

А движение пространства – это такое отображение пространства на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.

Ученики Центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, поворот.

Учитель Эти отображения и в пространстве являются движениями. И еще мы рассмотрим сегодня зеркальную симметрию-то есть симметрию относительно плоскости. Вы получаете задания каждый по своей теме. Через 10-15 мин. один представитель группы может готовить сообщение по своему виду движения (можно по конспекту). Пока ребята будут готовиться у доски, остальные продолжают работу в группах, решая предложенные вам задачи.

2. Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью направляющих этих прямых. Угол между направляющими векторами и будет равен углу между прямыми. Угол между векторами находят при помощи скалярного произведения. cosA=(ab)/IaI*IbI

3. Даны координаты вершин тетраэдра MABC: M(2;5;7) A(1;-3;2) B(2;3;7) C(3;6;0). Найти расстояние от точки M до точки О пересечения медиан треугольника ABC.