5.3. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли является одной из первых форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой события и его вероятностью.
Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов в постоянных условиях частота рассматриваемого события A сходится по вероятности к его вероятности p в отдельном опыте.
Обозначим
частоту события A
через
,
т.е.
,
тогда теорему Бернулли можно записать
в виде:
.
(5.14)
Доказательство. Обозначим через число появлений события A в i-м опыте. Величины независимые случайные величины, имеющие одинаковые ряды распределения:
|
0 |
1
, |
p |
p |
q |
где q= 1– p. Каждая из величин есть дискретная случайная величина с двумя возможными значениями 0 и 1.
Следовательно, для каждой величины :
;
.
Частота
появления A
в n
опытах равна
– среднему
арифметическому наблюдаемых значений.
Можно применить теорему Чебышева, так как случайные величины Xi попарно независимы (опыты независимые), математические ожидания равны, дисперсии ограничены (можно доказать, что pq<1/4).
По теореме Чебышева получим
,
что и требовалось доказать.
Обобщением теоремы Бернулли на случай, когда опыты происходят при неодинаковых условиях, является теорема Пуассона.
Теорема Пуассона. При неограниченном увеличении числа опытов в переменных условиях частота события сходится по вероятности к средним арифметическим его вероятностей , т.е.
,
(5.15)
где
– среднее арифметическое вероятностей.
Доказательство. Пусть случайные величины Xi – число появлений события A в i-м испытании . Случайные величины Xi имеют неодинаковые ряды распределения:
|
0 |
1 |
,
где
|
|
p |
|
|
|
.
Следовательно, для каждой случайной величины :
;
.
Обозначим частоту события A через , т.е.
,
тогда
;
.
Можно
применить обобщенную теорему Чебышева,
так как
при
,
т.е.
.
Теорема доказана.
5.4. Центральная предельная теорема
Вторая группа предельных теорем исследует предельные законы распределения случайной величины. Эта группа теорем носит название «центральной предельной теоремы». Различные её формы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Иногда эту теорему называют законом ошибок, так как именно в теории ошибок измерений нормальный закон впервые был обоснован П.С. Лапласом и К.Ф. Гауссом.
Ошибки физических измерений, астрономических наблюдений, ошибки измерений в биологии, демографии, как правило, распределяются нормально. Дело в том, что такие ошибки являются обычно суммой большого числа мелких ошибок, каждая из которых, взятая в отдельности, не оказывает решающего влияния на суммарную ошибку. Именно такая ситуация рассматривается в центральной предельной теореме, доказанной А.М. Ляпуновым.
Теорема
Ляпунова.
Если
независимые случайные величины, у каждой
из которых существует математическое
ожидание
;
дисперсия
;
абсолютный центральный момент третьего
порядка
и
,
(5.16)
то
закон распределения суммы
при
неограниченно приближается к нормальному
с математическим ожиданием
и дисперсией
.
Условие (5.16) обеспечивает ничтожное влияние каждой из случайных величин на его сумму. Теорему принимаем без доказательства.
Неограниченное
приближение закона распределения суммы
к нормальному закону при
в соответствии со свойствами нормального
закона означает, что
(5.17)
где
– функция Лапласа (2.39).
В качестве следствия из этой теоремы можно получить теорему Муавра –Лапласа о сходимости биноминального распределения к нормальному.
Теорема
Муавра –Лапласа.
Пусть
случайные величины, фигурирующие в
теореме Ляпунова, одинаково распределены,
дискретны и принимают только два
возможных значения 1 и 0 с вероятностями
p
и q=1– p.
Как и в теореме Бернулли, будем считать,
что Xi
– это число появлений события A
в i-м
опыте
.
Тогда число появлений события A
в n
опытах равно
.
По теореме Ляпунова закон распределения
Y
при
приближается к нормальному, т.е.
.
Вероятность
попадания Y
в интервал
выражается через функцию Лапласа
.
(5.18)
Значения
a
и
легко
вычисляются;
;
(5.19)
.
(5.20)
Итак,
если проводится n
независимых
опытов, в каждом из которых событие A
может
появиться с вероятностью
p,
то для любого интервала
справедливо соотношение:
.
(5.21)
Пример 2. Завод выпускает 90 % изделий первого сорта и 10 % изделия второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Найти вероятность того, что число изделий первого сорта окажется в пределах от 900 до 940.
Р е ш е н и е. Вероятность выбора изделия первого сорта p = 0,3, число опытов n=1000. Следовательно, np = 900, npq = 90. Применяя формулу (5.21), получим
Пример 3. Для космического корабля вероятность столкновения в течение часа с метеоритом равна 0,001. Найти практически достоверные границы числа столкновений с метеоритом в течение трех месяцев – с 1 июля по 31 августа, если вероятность практической достоверности принимается равной 0,9995.
Р
е ш е н и е. Количество опытов
n = 24∙92 = 2 206
(часов), в течение каждого часа вероятность
столкновения p= 0,001 => q =
= 1 –p = 0,999.
Число столкновений Y
– величина,
распределенная нормально с
и
.
По теореме Муавра – Лапласа:
,
откуда
.
Следовательно, число столкновений
,
т.е.
.
Таким образом, число столкновений космического корабля с метеоритом в течение трех месяцев составляет до 7 раз.