3.3. Изображения синусоидальных функций времени в векторной форме

При расчете электрических цепей часто приходится складывать или вычитать величины токов или напряжений, являющиеся синусоидальными функциями времени. Графические построения или тригонометрические преобразования в этом случае могут оказаться слишком громоздкими.

Задача упрощается, если представить наши синусоидальные функции в векторной форме. Имеем синусоидальную функцию Известно, что проекция отрезка, вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью, на любую линию, проведенную в плоскости вращения, изменяется по синусоидальному закону.

Пусть отрезок прямой длиной I_m начинает вращаться вокруг оси 0 из положения, когда он образует с горизонтальной осью угол φ, и вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция отрезка на вертикальную ось в начальный момент времени . Когда отрезок повернется на угол α₁, проекция его . Откладывая углы α₁, α₂, на горизонтальной оси, а проекции отрезка прямой - на вертикальной оси, получим ряд точек синусоиды (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Пусть даны два синусоидальных тока: и .

Нужно сложить эти токи и получить результирующий ток:

П редставим синусоидальные токи i₁ и i₂ в виде двух радиус - векторов, длина которых равна в соответствующем масштабе I_1m и I_2m. Эти векторы расположены в начальный момент времени под углами φ₁ и φ₂ относительно горизонтальной оси. Сложим геометрически отрезки I_1m и I_2m. Получим отрезок, длина которого равна амплитудному значению результирующего тока I_3m. Отрезок расположен под углом φ₃ относительно горизонтальной оси. Все три отрезка вращаются вокруг оси 0 с постоянной угловой скоростью ω. Проекции отрезков на вертикальную ось изменяются по синусоидальному закону. Будучи остановленными для рассмотрения, данные отрезки образуют векторную диаграмму (рис. 3.4).

Векторная диаграмма - это совокупность векторов, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты.

Необходимо отметить, что напряжение, ток и ЭДС - это скалярные, а не векторные величины.

Мы представляем их на векторной диаграмме в виде не пространственных, а временных радиус - векторов, вращающихся с одинаковой угловой скоростью.

Изображать на векторной диаграмме два вектора, вращающихся с различной угловой скоростью, бессмысленно.

Положительным считается направление вращения векторов против часовой стрелки. Векторные диаграммы используются для качественного анализа электрических цепей, а также при решении некоторых электротехнических задач.

3.4. Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.

Комплексным числом называется число вида где a, b – действительные числа, а a – действительная часть комплексного числа C; b – мнимая часть комплексного числа C.

Запись комплексного числа вида называется алгебраической формой записи.

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости, при этом алгебраической форме числа соответствует декартова система координат (a  x; b  y), а показательной форме числа  полярная система координат (Z     ).

Геометрическое представление комплексного числа C в плоскости комплексного переменного показано на рис. 3.5..

И з курса математики известно, что комплексное число может быть записано не только в алгебраической, но и в показательной форме: , где с - модуль комплексного числа, φ- аргумент.

С помощью формулы Эйлера , где и можно перейти от показательной формы записи к записи комплексного числа в алгебраической форме и в тригонометрической форме.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул: и

В табл. 3.1 приведена сводка различных форм записи комплексного числа.

Табл. 3.1

Запись комплексного числа	Название формы записи	Связь форм записи
	алгебраическая
	показательная	,
	тригонометрическая	,

Пусть требуется сложить два тока:

;

(3.1)

Т ригонометрическому уравнению (3.1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах x, y, рис. 3.6.

Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды . Совокупность векторов, соответствующая уровням токов или напряжений, называется векторной диаграммой.

Уравнению (3.1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа. Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой Эйлера . Положив и I_m = c, получим

. (3.2)

Комплексно-сопряженное число

. (3.3)

Вычтем уравнение (3.3) из уравнения (3.2) и преобразуем полученную разность. В результате получим:

(3.4)

С учетом (3.4) уравнение (3.1) примет вид:

(3.5)

Уравнение (3.5) содержит два типа комплексных чисел:

• прямые ;

• сопряженные .

Оно может быть записано для каждой группы в отдельности, например,

(3.6)

Исключая общие множители и , получим:

(3.7)

или

Комплексное число называется комплексной амплитудой тока. Здесь - амплитуда, а - начальная фаза тока.

В расчетах чаще всего используются комплексные действующие значения тока (напряжения), которые определятся по формулам ( ).

В дальнейшем комплексные величины будем называть комплексами напряжения и тока.

Уравнение (3.7) для комплексов тока примет вид:

или (3.8)

Г еометрическая интерпретация уравнения (3.8) на комплексной плоскости приведена на рис. 3.7. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис.3.6.

Комплекс тока называют символом мгновенного тока i(t), а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.

Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

- закон Ома; (3.9)

- первый закон Кирхгофа; (3.10) - второй закон Кирхгофа. (3.11)