3. Способ построения графиков методом умножения

Рассмотрим более сложный пример на построение графиков методом умножения. Пусть задано построить график по уравнению

у=х(х-1)(х-2)(х-3) (8)

З

Рис.15

десь дано произведение четырех множителей. Нарисуем график каждого из них по отдельности: все они – прямые, параллельные биссектрисе координатного угла и

Рис.16

отсекающие на оси ординат отрезки соответственно: 0, -1, -2, -3 (рис. 15).

В точках 0, 1, 2. 3 на оси х искомая кривая будет иметь ординату 0, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. В других местах произведение будет отличным от нуля, и будет иметь знак, который легко найти по знакам множителей. Так, справа от точки 3 все множители положительны, следовательно, и произведение положительно. Между 2 и 3 один множитель отрицателен, поэтому произведение отрицательно. Между точками 1и 2 два отрицательных множителя, поэтому произведение положительно, и т.д. Мы получаем следующее расположение знаков произведения (рис. 16).

Справа от точки 3 все множители при увеличении х возрастают, следовательно, и произведение будет возрастать, и притом очень быстро. Слева от точки О все множители возрастают в отрицательную сторону, поэтому произведение (оно положительно) также быстро возрастает.

Теперь легко набросать и общий вид графика (рис. 17) .

Рис.17

Построим график функции . Строим графики функций-слагаемых и у=х. Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмем значения

Рис.18

х = ½, 1, 2, 3,…Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений х, получаем точки А, В, С, Д. Соединив их плавной линией, получим одну ветвь графика функции (при х>0). Заметив, что функция нечетная и график её симметричен относительно начала координат, строим вторую ветвь графика заданной функции (при х<0) (рис.18).

3. Способ построения графиков методом деления

До сих пор мы использовали действия сложения и умножения. Теперь добавим к ним деление. Построим кривую

(9)

Для этого постоим в отдельности графики числителя и знаменателя. График числителя

у₁ =1 есть прямая, параллельная оси абсцисс, на высоте 1. График знаменателя

у₂ = х²+1 есть стандартная парабола, сдвинутая на 1 вверх. Оба эти графики показаны на рисунке 19.

Б удем теперь производить деление каждой ординаты числителя на соответствующую (т.е. взятую при том же х) ординату знаменателя. Когда

х

Рис.19

Рис.20

=0, мы видим, что у₁=у₂=1, откуда и у=1. При х≠0, числитель меньше знаменателя и частное меньше 1. Так как числитель и знаменатель всюду положительны, то и частное положительно, следовательно, график проходит в полосе, ограниченной осью абсцисс и прямой у=1. Когда х неограниченно увеличивается, тогда знаменатель неограниченно увеличивается, а числитель остается постоянным; поэтому частное стремится к нулю. Все это приводит к следующему графику частного (рис.20). Чертеж получается такой же, какой мы построили по точкам.

При графическом делении особую роль играют те значения х, при которых знаменатель обращается в нуль. Если числитель при этом не обращается в нуль, то частное уходит в бесконечность. Доя примера изобразим кривую

у = (10)

Здесь графики числителя и знаменателя нам уже известны (рис.21).

Рис.21

Рис.22^*

При х=1 мы имеем у₁₌ у₂ =1, откуда и у =1. При х>1 числитель меньше знаменателя, частное меньше 1, как и в предыдущем примере; когда х неограниченно увеличивается, частное приближается к нулю, и мы получаем участок графика, соответствующий значениям х>1 (рис.22^*).

Р ассмотрим теперь область значений х между 0 и 1. Когда х от 1 приближается к нулю, знаменатель стремится к нулю, в то время как числитель остается равным 1. Поэтому частное неограниченно увеличивается, и мы получаем ветвь, уходящую в бесконечность (рис. 22).

При х<0 знаменатель, а с ним и вся дробь становятся отрицательными. Общий ход графика представлен на рис. 23.

Рис.23

Теперь мы уже можем приняться по–настоящему за построение графика кривой, о которой шла речь в начале:

(11)

Б

Рис.24

удем сначала строить знаменателя. Кривая у₁= 3х² есть «утроенная» стандартная парабола. Вычитание единицы означает спуск графика на одну единицу вниз (рис.24).

Кривая пересекает ось х в двух точках, которое мы легко найдем, приравнивая 3х²-1 нулю:

Х_1,2 = ± = ± 0,577…

В

Рис.25

озведем полученный график в квадрат. В точках х₁ и х₂ ординаты останутся равными нулю. Все остальные ординаты будут положительными, так что график будет проходить выше оси абсцисс. В точке х=0 ордината будет

(-1)²=1, и это будет наибольшая ордината на участке от х₁ до х₂. Вне этого участка кривая будет в обе стороны круто подниматься кверху (рис.25).

Рис.26

Теперь график знаменателя построен. На этом же чертеже мы показали пунктиром и график числителя у₄ =1. Остается теперь разделить числитель на знаменатель. Так как числитель и знаменатель всюду одного знака. то частное будет положительным и весь график пройдет выше оси абсцисс. При х=0 числитель и знаменатель равны, их отношение равно 1.

П

Рис.27

ойдем по оси абсцисс вправо от точки О. Числитель остается равным 1. а знаменатель уменьшается; следовательно, частное увеличивается от значения 1. Когда мы дойдем до значения х₂ =0,577…знаменатель станет равным нулю. Это означает, что частное к этому моменту уйдет в бесконечность (рис 26). За точкой х₂ знаменатель быстро пройдет в обратную сторону путь от значения 0 до значения 1 и далее начнет неограниченно возрастать. Частное, наоборот, из бесконечности вернется к 1, пресечет прямую у=1 в той же точке, где и у₃, и далее будет неограниченно приближаться к нулю (рис 27).

Точно такая же картина получается с левой стороны от оси ординат (рис 28).

М

Рис.28

ы отметили на этом графике точки, соответствующие целым значениям х=0, 1, 2,3, -1, -2, -3. Это те самые точки, которые мы намечали при построении графика «по точкам». Мы видим, что в действительности, вместо того чтобы плавно спускаться от значения 1 (при х=0) к значению ¼ (при х=1) и далее, кривая уходит вверх в бесконечность. Мы можем увидеть здесь же и точку с координатами х = ½, у=16,которая никак не умещалась на прежнем, неправильном графике, но очень хорошо умещается на новом, правильном.