Непрерывно действующие неподвижные источники.
Точечный источник при длительном действии точечного источника в течение произвольного времени t можно использовать принцип наложения температур, заключающийся в соответствующем интегрировании (1) по времени t. Для этого представляют время t действия непрерывного источника в виде совокупности бесконечно малых элементов dt’ (рис. 2). Тогда в точке О за элемент времени dt’ через t после начала действия выделится элементарное количество тепла.
dQ = q( t’ )dt’ (2)
где q(t) – функция интенсивности источника во времени (рис. 2)
Рис. 2 Диаграмма изменения интенсивности источника во времени.
Элементарное количество тепла dQ (2), распространяясь в теле в течение времени t – t’, приводит к повышению температуры к моменту t . вычисляемому в соответствии с формулой (1).
(3)
Для определения температуры T(R,t) в момент t при действии непрерывного точечного источника на поверхности тела необходимо проинтегрировать выражение (3) по времени t
(4)
Подставим (2) и (3) в интеграл (4)
(5)
Если на поверхности тела действует непрерывный точечный источник постоянной интенсивности q=соnst, то выражение (5) удается проинтегрировать в аналитическом виде
(6)
где: Ф - функция интеграла вероятности Гаусса (или функция Крамна), представленная в справочниках табличными значениями.
При
достаточно длительном воздействии
источник (t
∞) температура всех точек тела
устремляется к предельным значениям.
(7)
Предельные значения температуры обратно пропорциональны расстоянию R от источника теплоты. Температура на заданном расстоянии R прямо пропорциональна интенсивности источника теплоты q и обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности λt. Следует отметить, что температурное поле предельного состояния не зависит от теплоемкости материала сγ.
Для импульсно-периодического воздействия следует подставить в интеграл (5) закон изменения интенсивности источника во времени с последующим численным интегрированием выражения.
Подвижные сосредоточенные источники тепла постоянной мощности
Подобный принцип наложения используется для вывода уравнений процесса распространения тепла при движущемся непрерывно действующем источнике. Соответствующие преобразования для произвольного времени действия подвижных источников сводятся к вычислению интеграла в численном виде. Однако для установившегося (квазистационарного) состояния, которое наступает как предельное при длительном действии подвижного источника,
можно получить аналитические выражения.
Уравнение квазистационарного состояния процесса распространения тепла точечного источника постоянной интенсивности q , движущегося с постоянной скоростью v по поверхности тела имеет следующий вид
(8)
где: R – пространственный радиус-вектор в подвижной системе координат, т.е. расстояние рассматриваемой точки А от начала О подвижной системы координат, связанной с движущимся источником нагрева (рис. 3д).
Х – абсцисса точки А в подвижной системе координат.
Рис.3 Температурное поле предельного состояния при движении точечного источника по поверхности полубесконечного тела:
q = 4000 Вт, v = 0,1 см/с, а = 0,1 см2/с, λt = 0,4 Дж/(см с град)
а – изотермы по поверхности ХОУ.
б – изотермы в поперечной плоскости УОZ, проходящей через центр источника теплоты.
в – распределение температуры по прямым параллельным оси ОХ и расположенным на поверхности тела.
г – распределение температуры по прямым параллельным оси ОУ, и расположенным в поперечной плоскости ХОZ.
д – схема расположения координатных осей
Рассчитанное по формуле (8) температурное поле предельного состояния симметрично относительно оси ОХ (рис. 3). Представленные на рисунке 3а изотермы на поверхности ХОУ имеют вид овальных кривых. Впереди источника теплоты изотермы стянуты, а позади источника – раздвинуты. Изотермические поверхности представляют собой объемные фигуры, полученные вращением изотерм относительно оси ОХ (рис. 3б). При малых значениях параметра vR/2а форма изотермы на поверхности ХОУ близка к окружности, а при больших значениях – изотермы вытянуты вдоль оси ОХ.
На стадии нагрева температуры возрастают быстрее, чем убывают на стадии охлаждения (рис. 3в).
На рисунке (3а) пунктирная кривая проведена через точки с максимальными температурами. Эта кривая максимальных температур разделяет поверхность тела на область нагрева (впереди кривой) и область остывания (позади кривой).