§ 2. Выборочные характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим ряд числовых параметров, которые характеризуют выборку.

Размахом вариации R называется разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант: .

Медианой М_В называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено нечетное число наблюдений, т.е. n = 2q – 1, результаты проранжированы и выписаны в следующем порядке: x₍₁₎, x₍₂₎,…, x₍_q_–1), x₍_q₎, x₍_q₊₁₎,…, x₍_k₎. На середину ряда приходится значение x₍_q₎. Следовательно, М_В= x₍_q₎.

Пусть проведено четное число наблюдений, т.е. n = 2q, тогда на середину ранжированного ряда приходится два значения x₍_q₎ и x₍_q₊₁₎. В этом случае за медиану принимают их среднее арифметическое, т.е. .

Модой М_О называется такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ею является значение, которому соответствует наибольшая частота.

Выборочной средней называется величина

где n – объем выборки. Эту величину называют средней арифметической.

Если учесть частоты n_i появления признака x_i, то получим формулу

Эту величину называют средней взвешенной.

Геометрически выборочная средняя – это центр распределения.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется величина

где n – объем выборки.

Если учесть частоты n_i появления признака x_i, то получим формулу

где n – объем выборки.

Геометрически дисперсия является мерой рассеивания относительно средней (центра), но так как размерность дисперсии не совпадает с размерностью выборочной средней, используется корень из дисперсии, который называется стандартным отклонением или средним квадратическим отклонением .

Пример.

Результаты исследования некоторого признака приведены в таблице.

	2	6	10	14
	0,6	?	0,1	0,03

Найти размах вариации, частоты, моду, медиану, выборочную среднюю, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Объем выборки 20.

Решение. Размах вариации равен . Теперь найдем неизвестное значение p₂. Используем для того свойство частости . Получим: p₂ = 1 – (0,6 + 0,1 + 0,03) = 0,27.

Итак, вариационный ряд имеет вид

	2	6	10	14
	0,6	0,27	0,1	0,03

Для вычисления частот воспользуемся формулой , откуда .

Получим, что n₁ = 0,620 = 12; n₂ = 0,2720 = 5,4 = 5; n₃ = 0,120 = 2; n₄ = 0,0320 = 0,6 = 1. Нужно заметить, что n_i — это частота появления признака и, следовательно, всегда целое число. Поэтому полученные в результате вычислений дроби, нужно округлить до целых чисел.

Получили вариационный ряд