3.3. Коефіцієнт множинної кореляції.

Одним з основних показників щільності кореляційного зв‘язку показника Y з факторами X_i , також показника ступеня близькості математичної форми зв’язку до вибіркових даних є коефіцієнт множинної кореляції.

Відношення суми квадратів центрованих теоретичних значень показника до суми квадратів центрованих вибіркових значень показника:

(3.4)

називається вибірковим коефіцієнтом множинної детермінації.

Враховуючи властивість

,

вибірковий коефіцієнт множинної детермінації запишемо у вигляді

. (3.5)

Із наведеної формули випливає, що коли , то , тобто якщо всі вибіркові значення показника розміщені на лінії регресії, то коефіцієнт множинної детермінації дорівнює 1. Чим ближче вибіркові (експериментальні) значення наближаються до лінії регресії , тим ближче коефіцієнт вибіркової множинної детермінації наближається до 1.

Корінь квадратний із вибіркового коефіцієнта множинної детермінації є коефіцієнтом множинної кореляції :

(3.6)

Коефіцієнт множинної кореляції є оцінкою близькості математичної форми зв’язку до вибіркових даних. Користуючись раніше введеними позначеннями, запишемо формулу для визначення коефіцієнта множинної кореляції:

Статистичну значущість коефіцієнта детермінації можна перевірити за допомогою F-статистики:

, (3.7)

де - коефіцієнт детермінації , n- число періодів ,що спостерігаються, m- число параметрів рівняння регресії. Для заданої надійності Р і ступенів вільності знаходимо в таблиці F- статистики критичне значення .

Якщо > ,то з надійністю Р можна вважати, що коефіцієнт детермінації статистично значимий і включені у регресію фактори достатньо пояснюють статистичну залежність показника.

3.4. Коваріаційна та кореляційна матриці.

При визначенні взаємного впливу різних характеристик економічних процесів використовують статистичні підходи, які, як показала практика, достатньо ефективні.Статистичний зв`язок між змінними можна вивчати методом кореляційного аналізу.

Розглянемо суть кореляційного аналізу. Нехай є система m нормально розподілених випадкових величин. Для випадкового вектора із складовими (X_1,X_2,…,X_m) вибірка обсягом n дає n рядків значень ознак

(x_11,x₂₁,…,x_m1),(x_12,x_22,…,x_m2),…,(x_1n,x_2n,…,x_mn).

Взаємозв`язок між окремими ознаками описується за допомогою коваріаційної або кореляційної матриці. Для m ознак можна скласти m математичних сподівань

m дисперсій

D_i= D[X_i]=

m(m-1) коваріацій

,

У статистичному аналізі точковими оцінками цих параметрів відповідно є:

середні статистичні значення

,

виправлені вибіркові дисперсії

,

виправлені вибіркові парні коефіцієнти коваріації

,

Коваріація K_ij разом з дисперсіями D_i=K_ij утворюють коваріаційну матрицю, яка складається з m рядків і m стовпців:

Коваріаційна матриця симетрична відносно головної діагоналі K_ij=K_ji. На головній діагоналі стоїть дисперсія ознак. Розмірність коваріації K_ij дорівнює

добутку розмірностей випадкових величин X_i, X_j. Коваріація K_ij характеризує щільність зв`язку факторів і розкид. Щоб дістати характеристику, яка описує лише залежність між ознаками без розкиду, коваріацію ділять на добуток середніх квадратичних відхилень S<sub>xi</sub> ∙S<sub>xj</sub>, тобто r<sub>ij</sub>=K<sub>ij</sub>/(S<sub>xi</sub>∙S<sub>xj</sub>). Безрозмірна величина r<sub>ij</sub> називається коефіцієнтом кореляції ознак X<sub>i</sub>, X<sub>j</sub>, вона характеризує ступінь лінійної залежності цих ознак, причому якщо r<sub>ij</sub> >0,то випадкові величини X<sub>i</sub>, X<sub>j</sub> зв`язані додатною кореляцією(при зростанні однієї випадкової величини друга також має тенденцію до зростання); якщо r_ij<0, то випадкові величини зв`язані від`ємною кореляцією (при зростанні однієї випадкової величини друга має тенденцію до спадання). Для будь-яких двох факторів X_i і X_j коефіцієнт кореляції має властивість: -1≤r_ij≤1.

Очевидно, що парні вибіркові коефіцієнти кореляції визначаються за формулою

Матриця, складена з вибіркових парних коефіцієнтів кореляції r_ij, називається вибірковою кореляційною матрицею

Вибіркова кореляційна матриця має такі властивості:

-вона симетрична відносно головної діагоналі (r_ij=r_ji);

-елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (r_ii=1(i=1,m)).