1.3.7. Пересечение прямой и плоскости частного положения

При рассмотрении пересечения прямой и плоскости остановимся сначала на случае пересечения прямой с плоскостью частного положения (рис. 57, 58).

В данном случае прямая m пересекает горизонтально-проецирующую плоскость. То, что плоскость P – горизонтально-проецирующая, следует из того, что фронтальный след плоскости P_V перпендикулярен оси x (P_V ┴ ox). Из свойств горизонтально-проецирующей плоскости, а именно из собирательного свойства горизонтального следа горизонтально-проецирующей плоскости, следует, что в каком бы месте прямая не пересекала плоскость, горизонтальная проекция точки пересечения обязательно будет принадлежать горизонтальному следу плоскости (K' P_H).

При решении аналогичной задачи в случае задания плоскости не следами, кроме определения точки пересечения, следует показать видимость. Видимость определяется с помощью конкурирующих точек, которые принадлежат заданной прямой и одной из прямых, принадлежащих плоскости (рис.59). В данном случае плоскость ABC – фронтально-проецирующая. Это следует из того, что фронтальные проекции точек собрались вдоль прямой линии. А так как фронтальный след такой плоскости обладает собирательным свойством, фронтальная проекция точки пересечения K″ также будет располагаться на этой прямой. Сторона BC скрещивается с прямой m, и точки 1 и 2 являются конкурирующими. Так как высота точки 1, принадлежащей стороне BC, больше, чем высота точки 2, принадлежащей прямой m, то в данном месте видима сторона BC и, следовательно, треугольник ABC.

1.3.8. Пересечение плоскостей, одна из которых плоскость частного положения

Для построения линии пересечения плоскостей требуется определить две точки, общие для обеих плоскостей. В этом случае следует:

1. рассмотреть проецирующую плоскость, как плоскость, а другую, как совокупность прямых;

2. найти точку пересечения одной из прямых с плоскостью;

3. операцию повторить;

4. соединить полученные точки, общие для обеих плоскостей прямой линией;

5. определить видимость.

Примеры решения этой задачи представлены на рис. 60 ÷ 62.

Рис. 60

1.4. Методы преобразования проекций

Методы преобразования проекций – это способы решения сложных задач путем приведения их объектов к удобному (частному) положению.

Существуют два основных типа методов преобразования проекций:

1. метод замены плоскостей проекций;

2. метод вращения.

При использовании второго метода вращение может быть осуществлено:

1. вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций (иное название этого метода – метод вращения вокруг проецирующих прямых). Разновидностью этого метода является метод плоскопараллельного перемещения;

2. вокруг линий уровня. Разновидностью этого метода является метод вращения вокруг одного из следов плоскости (иное название – метод совмещения).

1.4.1. Метод замены плоскостей проекций

Сущность метода заключается в том, что объект проецирования остается неподвижным в пространстве, а вводится новая вспомогательная плоскость проекций (с сохранением правил ортогонального проецирования, т. е. перпендикулярно одной из имеющихся плоскостей проекций), расположенная удобно (параллельно или перпендикулярно) по отношению к объекту.

Задача

Определить действительную величину отрезка AB.

Решение (рис. 63, 64)

Отрезок проецировался бы без искажений, если бы был параллелен одной из плоскостей проекций. Поскольку отрезок AB не параллелен ни одной из плоскостей проекций, проведем новую вспомогательную плоскость проекций (например, V₁) перпендикулярно существующей плоскости проекций H и параллельно отрезку AB, т. е. переведем его в частное положение – положение фронтали. Для этого воспользуемся одним из признаков фронтальной прямой – горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x, т. е. новую ось x₁ проведем параллельно горизонтальной проекции A′B′. В соответствии с правилами ортогонального проецирования линии проекционной связи будут перпендикулярны оси x_1. Так как при этом значения координат z для точек A и B не изменились, расстояние от старой фронтальной проекции A″ до старой оси x будет равно расстоянию от новой проекции A₁″ до новой оси x₁. Аналогично для точки B – B″B_x = B″₁B_x1. На новую плоскость проекций отрезок будет проецироваться в действительную величину. A″₁B″₁ = |AB|. При этом в действительную величину будет проецироваться и угол α наклона отрезка к плоскости проекций H.

Иногда однократной замены плоскостей проекций недостаточно. В этом случае операцию можно повторить, применив двух-трехкратную замену. Рассмотрим это на примере задачи по определению натуральной формы плоской фигуры.

Задача

Определить расстояние от тоски C до прямой AB.

Решение (рис. 65)

Для того чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно опустить перпендикуляр из точки на прямую и узнать действительную величину получившегося отрезка. Задача решается просто, если прямая параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда, по теореме о проецировании прямого угла, можно задать направление перпендикуляра и построить его основание. Однако, в данном случае, прямая AB не является прямой частного положения. Но так же, как в предыдущей задаче, можно перевести отрезок из общего положения в частное, и тогда задача сведется к уже известной, рассмотренной на с. 23. Для того чтобы определить действительную величину перпендикуляра CD, можно ввести еще одну вспомогательную плоскость проекций, параллельную отрезку CD, например, новую плоскость H₂. Тогда С′С_x1 = С′₂С_x2, а D′D_x1 = D′₂D_{x2 .}

Использование метода замены плоскостей проекций значительно облегчает решение сложных задач, связанных с взаимным положением прямой и плоскости или нескольких плоскостей (задачи на перпендикуляр к плоскости, на пересечение плоскостей, на определение угла между плоскостями и т. п.). Такие задачи легко решаются, если плоскость находится в частном положении. Рассмотрим алгоритм перевода плоскости в проецирующее положение на примере задачи по нахождению натуральной формы плоской фигуры.

Задача

Определить натуральную форму треугольника ABC.

Решение (рис. 66)

Треугольник спроецируется на плоскость проекций без искажения, если будет этой плоскости параллелен. Значит нужно ввести новую плоскость проекций параллельную плоскости треугольника. Но, сохраняя правила ортогонального проецирования, невозможно сразу ввести плоскость, перпендикулярную одной из имеющихся плоскостей проекций и параллельную плоскости треугольника. В этом случае решение разбивают на два этапа:

1. вводят новую вспомогательную плоскость проекций перпендикулярную одной из имеющихся и перпендикулярную плоскости треугольника (переводят плоскость треугольника в проецирующее положение);

2. проводят плоскость, параллельную плоскости треугольника.

Для перевода плоскости треугольника в частное проецирующее положение необходимо использовать признаки проецирующих плоскостей.

Для горизонтально-проецирующей плоскости определяющими признаками являются:

1. собирательное свойство горизонтального следа плоскости;

2. фронтальный след плоскости и фронтальная проекция любой фронтали плоскости перпендикулярна оси x.

Для фронтально-проецирующей плоскости определяющими признаками являются:

1) собирательное свойство фронтального следа плоскости;

2) горизонтальный след плоскости и горизонтальная проекция любой горизонтали плоскости перпендикулярна оси x.

Последовательной заменой плоскостей проекций переведем плоскость треугольника ABC в положение параллельной какой-либо из плоскостей проекций.

1. Введем вспомогательную плоскость проекций V₁ перпендикулярно плоскости треугольника. При этом новая ось x₁ должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали (например, A′1′). Признаком правильности проведенного построения будет то, что новые фронтальные проекции всех точек расположатся на одной прямой линии.

2. Введем новую плоскость проекций H₂ параллельно плоскости треугольника ABC. Для этого новую ось x₂ проведем параллельно новой фронтальной проекции A″₁B″₁C″₁. В результате на новую плоскость проекций H₂ треугольник ABC будет проецироваться без искажения.