4. Свойства пределов функций (локазать одну теорему).

1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функцийРасширенное свойство предела суммы

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3. Предел произведения функции на постоянную величину. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

5. Предельный переход и арифметические операции над пределами функций.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана

Арифметические операции:

6. Теорема о связи предела и бесконечно малой,

Для того, чтобы существовал

limx → x0 f(x) = A,

необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде

f(x) = A + α(x),

где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.

7. Первый замечательный предел.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними.

9, Непрерывность функции в точке, разные определения.

l0. Свойства функuий, непрерывных в точке.

Теорема 3 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность O(x0), в которой f(x) ограничена.

Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.

Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то существует окрестность точки x0, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x0).