2. Основные приложения метода координат на плоскости

Расстояние между двумя точками

Требуется найти расстояние d между точками А(х₁; у₁) и В(х2;у₂) плоскости Оху.

Решение: Искомое расстояние d равно длине вектора = (х₂ – х₁;у₂ –у₁), т. е.

Деление отрезка в данном отношении

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x₁;y₁) и В(х₂;у₂) в заданном отношении λ > 0, т.е. найти координаты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что (см. рис. 26).

Рис. 26.

Решение: Введем в рассмотрение векторы и . Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если

= λ· .(9.1)

Но = (x – x₁;y – y₁), т.е. = (х - х₁) + (у-у₁) и = (x₂-x;y₂-y), т. е. = (х₂ — х) + (у₂ — y) . Уравнение (9.1) принимает вид

(х – x₁) + (у – y₁) = λ(х₂ - х) + (у₂ - у) .

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при λ = 1, т. е. если AM = MB, то они примут вид . В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание: Если λ = 0, то это означает, что точки А и М совпадают, если λ < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом (λ ≠ - 1, т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

Площадь треугольника

Требуется найти площадь треугольника ABC с вершинами A(x₁;y₁), В(х₂;у₂), С(х₃; у₃).

Решение: Опустим из вершин А, В, С перпендикуляры АА₁, ВВ₁, СС₁ на ось Ох (см. рис. 27). Очевидно, что

S_ABC = S_AA1B1B + S_B1BCC1 – S_A1ACC1

Поэтому

Замечание: Если при вычислении площади треугольника получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

3. Преобразование системы координат

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе O₁x₁y₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Пусть начало новой системы координат точка O₁ имеет координаты (х_о;у_о) в старой системе координат Оху, т. е. O₁(x₀;y₀). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O₁x₁y₁ через (х';у') (см. рис. 28).

Рис. 28.

Рассмотрим векторы

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование ко­ординат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O₁x₁y₁ получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть М — произвольная точка плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах оди­наков, а полярные углы соответственно равны α+ φ и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

Рис. 29.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они по­зволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М че­рез новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O₁x₁y₁ получена из ста­рой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко по­лучить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точ­ки через ее новые координаты х' и у'.

Рис. 30.