5.3. Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

Оно отличается от уравнения Ах² + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0 наличием члена с произведением координат (В ≠ 0). Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей х = х' cos α - у' sin α, у = х' sin α + у' cos α,

выразим старые координаты через новые: А(х' cos α - у'sin α)² + 2В(х' cos α - у' sin α)(x' sin α + y'cos α)+ С(х' sin α + у' cos α)² + +2D(x' cos α - у' sin α)+ 2Е(х' sin α + у' cos α) + F = 0.

Выберем угол  так, чтобы коэффициент при х' · у' обратился в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство

Таким образом, при повороте осей на угол , уравнение

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0 сводится к уравнению

Ах² + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0.

Вывод:

общее уравнение второго порядка Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0 определяет на плос­кости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

15