Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, y, z

Ах + By. + Cz + D = 0. (12.4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например В ≠ 0, перепишем уравнение (12.4) в виде

А(х -0) + B + C(z - 0) = 0 (12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравне­ния (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным векто­ром = (А; В; С), проходящей через точку M₁ (0; - ; 0).

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = 0, то оно принимает вид Ах + By + Cz = 0. Этому урав­нению удовлетворяет точка О(0; 0; 0). Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2. Если С = 0, то имеем уравнение Ах + By + D = 0. Нормальный вектор = (А; В; 0) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна оси Oz; если В = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — парал­лельна оси Ох.

3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через О(0; 0; 0) параллельно оси Oz, т. е. плоскость Ах + By = 0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By + Cz = 0 и Ах + Cz = 0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz + D = 0, т. е. z = - . Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, урав­нениям Ах + D = 0 и By + D = 0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5. Если А = В = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид Cz = 0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Oxz; х = 0 — уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей че­рез три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂) и M₃(x₃;y₃;z₃), не ле­жащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку М(х: у; z) и составим векторы = (х – х₁;у – у₁;z – z₁), = (х₂ – х₁;у₂ – y₁,z₂ – z₁), = (х₃ – х₁;у₃ – y₁,z₃ – z₁). Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем · · = 0, т. е.

(12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох. Оу и Oz соответственно отрезки a, b и с, т. е.проходит через три точки А(а;0;0)_: В(0;b;0) и С(0;0;с) (см. рис. 70).

Рис. 70.

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

Раскрыв определитель, имеем bсх - abc+abz + асу = 0, т. е. bсх + асу + abz = abc или

(12.7)

Уравнение (12.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Рис. 71.

Пусть ОК = р, а α, β, γ — углы, обра­зованные единичным вектором с осями Ох, Оу и Oz. Тогда = (cosα;cosβ;cosγ). Возьмем на плоскости произвольную точ­ку М(х; у; z) и соединим ее с началом коор­динат. Образуем вектор = = (х; у; z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: пр = р, т. е. • = р или

· - р = 0 (12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов и , уравнение (12.8) перепишем в виде

х cos а + у cos β + z cos γ - р = 0. (12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным, уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нор­мальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.