Лабораторная работа №6 Линейный регрессионный анализ.
Цель работы. Нахождение уравнение линейной регрессии X на Y и Y на X.
1. Краткие теоретические сведения. Пусть случайная величина Y в среднем линейно зависима от значения переменной x. Это означает,
что условное математическое ожидание Y при заданном x имеет вид:
(1).
Функция
переменной x,
определяемая правой частью (1) называется
линейной регрессией Y
на X.
Она может быть использована для
предсказания значения случайной
величины Y
по фиксированному значению x
случайной величины X.
Коэффициенты
называются параметрами линейной
регрессии. Они находятся по МНК (метод
наименьших квадратов) : сумма квадратов
отклонений наблюдаемых значений Y
от их математических ожиданий имеет
вид
.
Наименьшее значение этой суммы достигает
тогда, когда коэффициенты
,
удовлетворяют условию:
.
Практически имеющиеся данные представляют
ограниченную выборку. Поэтому можно
получить лишь оценку линии регрессии.
Выборочная линейная регрессия Y
на X
по выборке
определяется уравнением
(2)
где
,
- оценки средних квадратичных отклонений
X
и
Y
по результатам наблюдений,
- выборочный коэффициент корреляции
,
где
.
Коэффициенты
называются выборочными коэффициентами
регрессии. Они вычисляются по формулам
.
Аналогично определяется выборочная
регрессия X
на Y.
Для
контроля правильности расчётов
используют соотношение
.
Прямые
пересекаются в точке с координатами
.
Качество аппроксимации результатов
наблюдений выборочной регрессией (2)
определяется величиной остаточной
дисперсии
:
сумма
квадратов, обусловленная регрессией.
-
остаточная сумма квадратов. Если модель
согласуется с результатами наблюдений,
то остаточная дисперсия является
несмещённой оценкой дисперсии ошибок
наблюдений
.
Для оценки корреляции между результатами
наблюдений
и вычисленными по формуле (2) значениями
используется коэффициент детерминации
.
Он показывает ту долю разброса результатов
наблюдений
,
относительно прямой
,
которая объясняет выборочной регрессией
(2). Имеет место следующее отношение
.
2.
Задание.
Найти уравнения прямой регрессии Y
на X
и X
на Y,
оценки регрессии ошибок наблюдений
,
коэффициент детерминации
регрессии Y
на X.
3. Порядок выполнения работы.
3.1. Вычислить оценки коэффициентов линейной регрессии по формулам:
где
определены при вычислении коэффициента
корреляции
3.2. Провести контроль правильности вычислений
3.3. Записать уравнение линейной регрессии Y на X и X на Y.
3.4. Изобразить графически уравнения регрессии Y на X и X на Y. При правильности построения прямые пересекутся в точке с координатами .
|
Рисунок 6 |
3.5. Найти сумму квадратов, обусловленную регрессией.
3.6.
Найти остаточную сумму квадратов
3.7. Оценить дисперсию ошибок колебаний
3.8. Вычислить коэффициент детерминации
.
Этот результат означает, что полученное
уравнение регрессии на 73,5% объясняет
общий разброс результатов наблюдений
относительно прямой
.
4. Контрольные вопросы.
Записать прямую регрессию Y на X. Как она используется в практических приложениях?
Какой метод лежит в основе вычисления коэффициентов
и
?Как оценивается качество аппроксимации результатов наблюдений выборочной регрессии?
Таблица 1. (Таблица данных)
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 |
1 7 19 22 9 2 |
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 |
6 9 15 16 10 4 |
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 |
2 6 18 19 11 4 |
15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 |
3 6 14 20 11 6 |
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
2 10 19 18 10 1 |
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 |
5 9 11 14 8 3 |
15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 |
2 6 18 22 8 4 |
30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 |
2 9 17 20 9 3 |
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 |
2 5 17 21 10 5 |
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 |
4 7 16 20 8 5 |
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 |
3 9 12 20 12 4 |
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 |
5 10 18 14 8 5 |
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 |
1 7 17 24 9 2 |
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 |
4 10 14 15 12 5 |
30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 |
2 6 17 20 11 3 |
20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 |
6 9 14 18 9 4 |
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 |
2 5 18 26 6 3 |
50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 |
2 6 20 22 7 3 |
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 |
2 7 25 19 5 2 |
60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 |
4 7 19 22 6 2 |
Продолжение таблицы 1. (Таблица данных)
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 |
4 9 16 17 10 4 |
30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 |
6 9 16 17 7 5 |
50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 |
2 5 17 19 12 5 |
25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 |
5 7 18 16 9 5 |
Таблица 2. (Таблица данных)
Вариант данных. 1-2. |
|||||||
|
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
|
5-10 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
6 |
10-15 |
|
3 |
4 |
2 |
|
|
9 |
15-20 |
|
1 |
10 |
4 |
|
|
15 |
20-25 |
|
|
3 |
10 |
3 |
|
16 |
25-30 |
|
|
|
6 |
4 |
|
10 |
30-35 |
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
1 |
7 |
19 |
22 |
9 |
2 |
|
Вариант данных. 3-4. |
|||||||
|
0-10 |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
|
15-20 |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
20-25 |
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
6 |
25-30 |
|
3 |
7 |
4 |
|
|
14 |
30-35 |
|
|
8 |
10 |
2 |
|
20 |
35-40 |
|
|
|
3 |
7 |
1 |
11 |
40-45 |
|
|
|
1 |
23 |
|
6 |
|
2 |
6 |
18 |
19 |
11 |
4 |
|
Вариант данных. 5-6. |
|||||||
|
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
|
10-15 |
2 |
3 |
|
|
|
|
5 |
15-20 |
|
4 |
4 |
1 |
|
|
9 |
20-25 |
|
1 |
10 |
9 |
1 |
|
21 |
25-30 |
|
2 |
4 |
5 |
3 |
|
14 |
30-35 |
|
|
1 |
3 |
4 |
|
8 |
35-40 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
10 |
19 |
18 |
10 |
1 |
|
Вариант данных. 7-8. |
|||||||
|
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
35-40 |
40-45 |
|
30-40 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
40-50 |
1 |
5 |
3 |
|
|
|
9 |
50-60 |
|
|
9 |
8 |
|
|
17 |
60-70 |
|
|
6 |
12 |
1 |
1 |
20 |
70-80 |
|
|
|
2 |
6 |
1 |
9 |
80-90 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
6 |
18 |
22 |
8 |
4 |
|
Продолжение таблицы 2. (Таблица данных)
Вариант данных. 9-10. |
|||||||
|
25-30 |
30-35 |
35-40 |
40-45 |
45-50 |
50-55 |
|
10-20 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
20-30 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
7 |
30-40 |
|
1 |
6 |
9 |
|
|
16 |
40-50 |
|
|
6 |
10 |
4 |
|
20 |
50-60 |
|
|
|
2 |
5 |
1 |
8 |
60-70 |
|
|
|
|
1 |
4 |
5 |
|
2 |
5 |
17 |
21 |
10 |
5 |
|
Вариант данных. 11-12. |
|||||||
|
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
35-40 |
|
20-30 |
2 |
3 |
|
|
|
|
5 |
30-40 |
1 |
6 |
3 |
|
|
|
10 |
40-50 |
|
|
9 |
9 |
|
|
18 |
50-60 |
|
|
|
10 |
4 |
|
14 |
60-70 |
|
|
|
|
6 |
2 |
8 |
70-80 |
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
3 |
9 |
12 |
20 |
12 |
4 |
|
Вариант данных. 13-14. |
|||||||
|
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
|
0-5 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
5-10 |
|
4 |
6 |
|
|
|
10 |
10-15 |
|
1 |
6 |
7 |
|
|
14 |
15-20 |
|
|
4 |
11 |
|
|
15 |
20-25 |
|
|
|
6 |
6 |
|
12 |
25-30 |
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
|
1 |
7 |
17 |
24 |
9 |
2 |
|
Вариант данных. 15-16. |
|||||||
|
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
|
20-25 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
6 |
25-30 |
|
2 |
4 |
3 |
|
|
9 |
30-35 |
|
1 |
8 |
5 |
|
|
14 |
35-40 |
|
|
5 |
9 |
4 |
|
18 |
40-45 |
|
|
|
2 |
6 |
1 |
9 |
45-50 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
4 |
|
2 |
6 |
18 |
20 |
11 |
3 |
|
Продолжение таблицы 2. (Таблица данных)
Вариант данных. 17-18. |
|||||||
|
30-35 |
35-40 |
40-45 |
45-50 |
50-55 |
55-60 |
|
50-60 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
60-70 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
6 |
70-80 |
|
|
12 |
8 |
|
|
20 |
80-90 |
|
|
5 |
16 |
1 |
|
22 |
90-100 |
|
|
|
2 |
4 |
1 |
7 |
100-110 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
5 |
18 |
26 |
6 |
3 |
|
Вариант данных. 19-20. |
|||||||
|
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
|
60-70 |
1 |
3 |
|
|
|
|
4 |
70-80 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
7 |
80-90 |
|
|
17 |
2 |
|
|
19 |
90-100 |
|
|
6 |
15 |
1 |
|
22 |
100-110 |
|
|
|
2 |
3 |
1 |
6 |
110-120 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
7 |
25 |
19 |
5 |
2 |
|
Вариант данных. 21-22. |
|||||||
|
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
100-110 |
110-120 |
|
30-35 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
6 |
35-40 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
9 |
40-45 |
|
3 |
8 |
5 |
|
|
16 |
45-50 |
|
|
3 |
12 |
2 |
|
17 |
50-55 |
|
|
|
|
6 |
1 |
7 |
55-60 |
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
|
4 |
9 |
16 |
17 |
10 |
4 |
|
Вариант данных. 23-24. |
|||||||
|
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
100-110 |
|
25-30 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
5 |
30-35 |
|
1 |
4 |
2 |
|
|
7 |
35-40 |
|
2 |
9 |
7 |
|
|
18 |
40-45 |
|
|
3 |
8 |
5 |
|
16 |
45-50 |
|
|
|
2 |
5 |
2 |
9 |
50-55 |
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
|
2 |
5 |
17 |
19 |
12 |
5 |
|
