Логические схемы

Простейшие логические элементы можно реализовать аппаратно. Это означает, что можно создать электронные устройства на транзисторах, резисторах и т.п., каждое из которых имеет один или два входа для подачи управляющих напряжений и один выход, напряжение на котором определяется соответствующей таблицей истинности. На практике логической 1 соответствует наличие напряжения, логическому 0 – его отсутствие.

Существование прямых соответствий между логическими и электронными схемами позволяет понять, как работают сложные цифровые устройства ЭВМ. Таким образом, инструментом описания работы таких устройств может служить булева алгебра, цель которой – описание поведения логических схем.

Логическая схема, которая полностью описывается булевыми выражениями их таблицами истинности, называется комбинационной.

Таким образом, комбинационная схема – схема, в которой значения входных переменных в текущий момент времени полностью определяют значения выходных переменных.

Другой класс схем – последовательные схемы. Это схемы с внутренней памятью. В них значения выходных переменных определяются не только значениями входных переменных в текущий момент времени, но и их значениями в предыдущие моменты времени.

Рассмотрим комбинационные схемы.

Каждой элементарной логической операции можно поставить в соответствие элементарную логическую схему (вентиль, ворота).

Логический вентиль (ворота) - это электронные компоненты, собранные в цепь, которые имеют один или более входов и всегда один выход. Для любых логических вентилей (ворот) имеются физические сигналы двух видов (обычно низкое или высокое напряжение), что можно ассоциировать с логическим 0 и логической 1..

В силу "двухзначной" природы входных и выходных переменных – это пример бинарных устройств. Логические вентили (ворота) также попадают под категорию комбинационных устройств, ибо значение выхода зависит только от значений входа. (Это в определенном смысле противоположность последовательным секвинтальным устройствам, в которых значение выхода определяется еще такими факторами, как время, или предыстория цепи).

Соединив логические элементы в соответствии с булевым выражением, получим логическую схему, реализующую данное выражение.

Логическая связь входа и выходов этой схемы описывается исходным булевым выражением. Таким образом, булево выражение – описание логической схемы.

Построение логической схемы по булеву выражению

1.

х1						&
х2			х2	1			F
					х2 v х3
х3

2.

х1 х1 & ИЛИ

х2

F

х3 & x1 x3

3.

x1

x2 &

x3

1

x 2

& x2 x3 &

x 3 F

x4

Получение булева выражения по логической схеме

1. Дана логическая схема. Построить логическое выражение, описывающее эту схему.

х1 1 1 3

& 2 &

х2 5 F

4

Запишем значения выходных элементов:

1:

2:

3:

4:

5:

Таким образом получено логическая функция:

Полученную формулу можно упростить, используя теоремы булевой алгебры:

F= {3} = = {2 коммутативность} = = {9 закон противоречия} =

Соответственно, и схема может быть проще.

Примечания:

1. В ряде случаев перед построением логической схемы устройства по логической функции последнюю, пользуясь соотношениями алгебры логики, следует преобразовать к более простому виду (минимизировать).

2. Для логических схем ИЛИ, И и НЕ существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах. Для построения современных ЭВМ обычно применяются системы интегральных элементов, у которых с целью большей унификации в качестве базовой логической схемы используется всего одна из схем: И—НЕ (штрих Шеффера), ИЛИ—НЕ (стрелка Пирса) или И—ИЛИ—НЕ.

Логический синтез вычислительных схем

Рассмотрим логический синтез (создание) вычислительных схем на примере одноразрядного двоичного сумматора (полусумматора), имеющего два входа ("a" и "b"- одноциферные бинарные числа, т.е. 0 или 1) и два выхода ("S" – цифра суммы и "P" – цифра переноса) и выполняющего операцию сложения в соответствии с заданной таблицей:

a	b	f1(a, b) = S	f2(a, b) = P
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

где f₁(a, b) = S – значение цифры суммы в данном разряде

f₂(a, b) = P цифра переноса в следующий (старший) разряд.

Согласно соотношению (2), можно записать:

Логическая схема сумматора, реализующего полученную функцию, представлена на рисунке.

Здесь изображены логические блоки в соответствии с международным стандартом: