5. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение x может встретиться n_x раз, одно и то же значение y - n_y раз, одна и та же пара чисел (x, y) может наблюдаться n_xy раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты n_x, n_y, n_xy. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которая называется корреляционной таблицей.

Для простоты устройство корреляционной таблицей рассмотрим на примере. Пусть дана таблица

Y	X
	10	20	30	40
0,4	5		7	14	26
0,6		2	6	4	12
0,8	3	19			22
	8	21	13	18	n=60

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (10, 20, 30, 40) при-знака X, а в первом столбце - наблюдаемые значения (0.4, 0.6, 0, 8) признака Y . На пересечении строк и столбцов находятся частоты n_xy наблюдаемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10, 0.4) наблюдалась 5 раз. Пустая клетка означает, что соответственная пара чисел, например (20, 0.4), не наблюдалась.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки равна n_y = 5 + 7 + 14 = 26; это число указывает, что значение признака Y , равное 0.4 (в сочетании с различными значениями признака X), наблюдалось 26 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение признака X, равное 10 (в сочетании с различными значениями признака Y ), наблюдалось 8 раз.

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n). Очевидно, что .В нашем примере и

6. Выборочный коэффициент корреляции

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством

Здесь где x, y - варианты (наблюдавшиеся значения) признаков X и Y ; n_xy - частота пары вариант (x, y); n - объем выборки (сумма всех частот); _x, _x - выборочные средние квадратические отклонения; x, y - выборочные средние.

Если величины Y и X независимы, то коэффициент корреляции r = 0; если ,то Y и x связаны линейной функциональнозависимостью. Отсюда следует, что коэффициент корреляции r измеряет силу (или тесноту) линейной связи между Y и X. Выборочный коэффициент корреляции r_B является оценкой коэффициента корреляции r генеральной совокупности и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами количественными признаками Y и X. Допустим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. Возникает необходимость проверить гипотезу о значимости (существенности) выборочно-го коэффициента корреляции (или, что то же, о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффи- циент корреляции значим, а величины X и Y коррелированы; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а величины X и Y не коррелированы.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность.

Например, для оценки коэффициента корреляции r_ нормально распреде- ленной генеральной совокупности (при ) можно воспользоваться формулой