4. Решение варианта 0 контрольного задания (часть 2)

Задача 1. Найти интегралы:

1. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Такое разложение позволяет использовать известные табличные интегралы

Тогда

Итак,

Проверим результат с помощью Maple:

10. int((x+1)/(4-x^2),x);

Очевидно, что результаты ручного и машинного вычислений совпадают.

2. Такой интеграл будем брать методом интегрирования по частям, а именно, по формуле

Пусть u=x, dv=cos3xdx. Тогда du=dx, v=(1/3)sin3x. Далее получаем

Проверим результат также с помощью Maple:

10. int(x*cos(3*x),x);

3. Подинтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Для этого в знаменателе выделим линейные или неприводимые квадратичные множители:

Из этого равенства получаем

x-2=A(x+3)+Bx

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х.

x-2=Ax+3A+Bx или x-2=(A+B)x+3A

Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Решая эту систему, находим A=-(2/3), B=5/3.

Подставим полученные значения (бывших) неопределенных коэффициентов Имеем

Переходя к интегралам, получаем

Итак,

Снова проверим результат с помощью Maple:

10. int((x-2)/(x^2+3*x),x);

Задача 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями:

Представим на графике указанную площадь. Для этого вычертим параболу и прямую , а затем выделим фигуру, заключенную между этими геометрическими объектами. Вычисление площади этой фигуры с помощью определенного интеграла потребует знания пределов интегрирования. Это нижняя и верхняя границы проекции фигуры на ось абсцисс. Для нахождения таких границ приравняем правые части заданных уравнений: x²-x+3=7-x. Отсюда x²-4=0. Значит, x₁=-2, x₂=2.

Площадь выделенного участка вычислим с помощью определенного интеграла:

Проверка в среде Maple:

10. int(4-x^2,x=-2..2);

Литература Основная литература

1. Бугров А.Г., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984

2. Бугров А.Г., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980

3. Бугров А.Г., Никольский С.М. Задачник. – М.: Наука, 1984

4. Высшая математика для экономистов / под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 1997

5. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2005

6. Сборник задач по высшей математике для экономистов / под ред. проф. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2002

7. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: ВШ, 2000

8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: ВШ, 2001

Дополнительная литература

1. Баринов В.А., Няшин А.Ф., Слезко И.В., Татосов А.В. Краткий курс лекций, упражнения и задания по высшей математике. – Изд. ТюмГУ, 2001

2. Воронов М.В., Мещеряков Г.П. Высшая математика для экономистов и менеджеров. – Ростов-на-Дону, ФЕНИКС, 2004

3. Высшая математика. Общий курс / под ред. А.И.Яблонского. – Минск: ВШ, 1993

4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985

5. Гусак А.А. Высшая математика. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – т.1,2

6. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. – Мн.: Выш.шк., 1988. – т.1,2

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: ВШ, 1986. - ч.1,2

8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977

9. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975

10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978

11. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: ВШ, 1982. – ч.1,2

12. Карасев А.И. Калихман И.Л., Кремер Н.Ш. Матричная алгебра. – М.: ВЗФЭИ, 1987

13. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 1997

1. Кругликов В.И. Основные формулы и методы математического анализа. – Изд. ТюмГУ, 2003

2. Кругликов В.И. Конспект лекций по математике. – Изд. ТюмГУ, 2003

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989

9. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2000

14. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. – М.: ВШ, 1986

15. Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. – М.: ВШ, 1990

16. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – С.-П.: Спец. литература, 1996

17. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: ВШ, 1987

18. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – ч.1,2

19. Сборник задач по высшей математике для втузов, ч.1,2 / под ред. проф. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.. – М.: ВШ, 1985

20. Справочник по математике для экономистов / под ред. проф.Ермакова В.И. – М.: Наука, 1986

32