6.Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

1. Вывод управления прямой по 2-м точкам.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁ , если х ₁ = х₂ .

Дробь  = k называется угловым коэффициентом прямой.

2)Вывод общего уравнения прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число  , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3)Вывод уравнения прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:   или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

4)Уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом между прямыми. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить  , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

7.Уравнение плоскости

Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Уравнение плоскости

• Общее уравнение плоскости

• Уравнение плоскости в отрезках

• Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

Ax+By+Cz+D= 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0,b, 0) и (0, 0,с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀,y₀,z₀) и вектора нормали плоскости n={A; B; C}можно использовать следующую формулу.A(x - x₀) +B(y - y₀) +C(z - z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂) и C(x₃,y₃,z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 -x1	y2 -y1	z2 -z1
x3 -x1	y3 -y1	z3 -z1