5. Особые случаи. Неопределенности

Рассматривая выражения , , , мы предполагали, что последовательности и имеют конечные пределы и .

Выясним, каковы будут результаты, когда пределы последовательностей и (или один из них) бесконечны или когда предел знаменателя (в случае частного) будет равен нулю.

1. Пусть предел конечен, а . Тогда

.

Действительно, , так как величина бесконечно малая (обратная бесконечно большой ).

2. Если (конечный или бесконечный), а

, то .

В самом деле,

,

так как обратная величина стремится к нулю.

3. Если , а предел конечен, то (так как обратное отношение ).

4. Пусть . В этом случае предел частного может иметь различные значения или даже вовсе не существовать, это зависит от частного закона изменения переменных. Проиллюстрируем сказанное примерами. Пусть

, ; , .

Тогда . Если же положить

, , то .

При , .

Пусть , , тогда отношение не имеет предела.

Подводя итог рассмотренному, можно утверждать, что знание пределов и не позволяет судить о пределе их отношения; необходимо знать закон изменения переменных и непосредственно исследовать отношение . Чтобы характеризовать эту особенность, говорят, что выражение представляет неопределенность вида .

5. Подобное предыдущему обстоятельство возникает, когда , . Проиллюстрируем этот факт примерами:

, , ;

, , ;

, , ;

, , не имеет предела.

В этом случае говорят, что выражение является неопределенностью вида .

6. Рассмотрим далее произведение . Если существует отличный от нуля предел (конечный или бесконечный), а , то , так как обратная величина есть бесконечно малая (первый множитель имеет конечный предел, а второй стремится к нулю).

7. Если , а , то сталкиваемся с ситуацией, которая рассматривалась в пп. 4,5.

В самом деле, рассмотрим примеры:

, , ;

, , ;

, , ;

, , не имеет предела.

Рассмотренные примеры подтверждают тот факт, что выражение есть неопределенность вида .

8. Можно показать, что если , а имеет конечный предел, то .

9. Пусть и стремятся к бесконечности разных знаков. Этот случай также оказывается особым; различные возможности проиллюстрируем примерами:

, , ;

, , ;

, , ;

, , .

В силу рассмотренного говорят, что при , выражение является неопределенностью вида .

В соответствии с рассмотренным выше, мы можем сделать следующий вывод. При определении пределов суммы, произведения и частного по пределам последовательностей и , из которых они образуются, это невозможно сделать в случаях возникновения неопределенностей

, , , .

Нужно непосредственно исследовать выражение, учитывая закон изменения последовательностей. Это исследование называется раскрытием неопределенности.

6. Техника раскрытий основных видов неопределенностей

Рассмотрим ситуацию, когда в пределе

возникает неопределенность вида . Метод раскрытие данной ситуации неопределенности непосредственно зависит от того, какой вид имеют общие члены числовых последовательностей . В случае возникновения ситуации неопределенности числовые последовательности являются бесконечно-большими:

.

1. Предположим сначала, что числовые последовательности таковы, что их общие члены есть многочлены степеней соответственно относительно натуральной переменной :

В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо вынести за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель

,

где – наибольшее из степеней . После вынесения сократить дробь на этот множитель и произвести оценку полученного предела, учитывая, что последовательности являются бесконечно малыми:

.

Пример 1. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Решение

В пределе имеем неопределенность , числовые последовательности заданы общими членами (многочленами относительно )

Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель ( ). Пользуясь теоремами о сходящихся последовательностях, получим

Учитывая, что последовательности есть бесконечно малые числовые последовательности ( ), а

,

окончательно получаем

Пример 2. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Решение

В пределе имеем неопределенность , числовые последовательности заданы общими членами (многочленами относительно )

Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель ( ). Получаем

Учитывая, как и прежде, что последовательности есть бесконечно малые числовые последовательности ( ), а

,

окончательно получаем

Вообще, можно доказать, что

2. Предположим теперь, что числовые последовательности таковы, что их общие члены задаются при помощи факториалов от натуральной переменной .

Напомним, что факториалом натурального числа называется произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до :

,

Замечание. Для определенности считают, что .

При решении задач будем пользоваться следующим свойством факториала:

,

.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 3. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Решение

Для раскрытия неопределенности сначала выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель – факториал с наименьшим номером. Используя свойство

,

получим:

Затем вынесем за скобки общий множитель , сократим на него дробь и запишем ответ:

.

Пример 4. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Решение

Для раскрытия неопределенности сначала выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель – факториал с наименьшим номером. Для этого используем свойства факториала:

,

.

Итак, получаем

.

Затем выносим за скобки общий множитель , сократим на него:

.

В полученном пределе вновь возникает неопределенность . Числитель и знаменатель дроби есть многочлены относительно переменной . Выносим за скобки общий множитель (см. пункт 1 данного практикума), сокращаем на него и получаем ответ

.

3. Пусть обе числовые последовательности таковы, что их общие члены содержат показательные выражения вида

.

Для раскрытия неопределенности рекомендуется в числителе и знаменателе дроби вынести общим множителем показательное выражение

,

где есть наибольшее из всех оснований показательных выражений.

После вынесения выражения и сокращения на него воспользоваться действиями над сходящимися последовательностями. При этом учесть, что в пределе возникнут бесконечно малые последовательности.

Пример 5. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):

Решение

Для раскрытия неопределенности вынесем в числителе и знаменателе дроби общий множитель

,

который является показательным выражением с наибольшим основанием из оснований 2 и 3:

Далее учитываем (см. лекция №2), что числовая последовательность с общим членом

( ),

является бесконечно малой последовательностью:

.

Тогда окончательно получаем