4. Замена переменной в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
Рассмотренные выше для вычисления неопределенного интеграла метод замены переменной (подстановка и подведение под знак дифференциала) и метод интегрирования по частям также применяются и для вычисления определенного интеграла.
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
1) функция интегрируема на отрезке ;
2) функция
определена и непрерывна вместе со своей
первой производной
на отрезке
;
3) – множество значений функции ;
4)
,
.
Тогда справедлива
формула
.
Доказательство.
Согласно
условиям теоремы сложная функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда на отрезке
для этой функции существует первообразная
.
Применяя формулу (9.2), получим
.
Рассмотрим метод подстановки в определенном интеграле. Схема вычисления выглядит здесь следующим образом:
,
(4.1)
где интеграл справа может оказаться проще исходного интеграла (или вообще, является табличным интегралом). Рассмотрим пример.
Пример 1.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
В данном случае
функция
является непрерывной на отрезке
.
Воспользуемся формулой (4.1). Примем
сначала
и отсюда найдем функцию
.
Имеем для этого
или
Далее имеем
.
Теперь необходимо
сделать замену пределов (найти значения
):
если
,
то
,
если
,
то
.
Применяя формулу (4.1), получим
.
Рассмотрим метод подведения функции под знак дифференциала в определенном интеграле. Схема вычисления выглядит здесь следующим образом:
,
(4.2)
где полученный интеграл справа вычисляется проще, чем исходный интеграл, или вообще сводится к одному из табличных интегралов. Рассмотрим пример.
Пример 2. Вычислить определенные интегралы:
1)
;
2)
.
Решение.
1) Подынтегральная
функция
является непрерывной на отрезке
.
Примем
,
так как
.
Воспользуемся формулой (4.2):
.
2) Функция
является непрерывной на отрезке
.
Пусть
,
.
Применение формулы (4.2)
дает:
.
Теорема 2.
Если функции
и
определены и непрерывны на отрезке
вместе со своими производными, тогда
справедлива формула
или
.
(4.3)
Заметим, что все, что касалось формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле (в том числе и типы интегралов), полностью переносится и на определенный интеграл.
Пример 3.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Вычисляем интеграл по формуле (4.3):
.
Вычисляем отдельно
интеграл
по формуле (4.3):
.
Окончательно
.
Лекция 3
5. Численные методы вычисления определенного интеграла
Если функция
такая, что для нее нельзя найти
первообразную функцию
,
а значит, невозможно применить формулу
Ньютона-Лейбница для расчета определенного
интеграла
,
часто пользуются численными (приближенными)
методами. Рассмотрим следующие методы:
формула
прямоугольника, формула трапеции,
формула параболы (Симпсона).
Формула
прямоугольников. Отрезок
интегрирования
разбивают на
равных частей точками
,
(
), (5.1)
где
– шаг (расстояние между двумя соседними
точками (5.1) (назовем их узлами)). Тогда
формула прямоугольников имеет вид
, (5.2)
где
– значения функции
в узлах (5.1).
Формула трапеций. Отрезок интегрирования разбивают на равных частей точками (11.1), где . Тогда формула трапеций имеет вид
, (5.3)
где – значения функции в узлах.
Формула парабол
(Симпсона). Отрезок
интегрирования
разбивают на
равных частей точками (узлами)
,
(
),
(5.4)
где
.
Тогда формула парабол (Симпсона) имеет
вид
(5.5)
где
– значения функции
в узлах (5.4).
Абсолютная
и относительная
(в процентах) погрешности методов
прямоугольников, трапеций и парабол в
случае, если удалось найти точное
значение
интеграла, имеют вид
.
(5.6)
Пример.
Вычислить точное
и приближенное по методам прямоугольников,
трапеций и парабол значения определенного
интеграла
,
разбив отрезок интегрирования на
=10
равных частей. Найти абсолютную
и относительную
погрешности формулы трапеций.
Решение:
1). Вычислим
сначала точное значение
интеграла:
2).
Применим формулу прямоугольников (5.2).
В нашем случае
,
,
=10,
,
.
Узлы
определяем по формуле (5.1):
.
Для дальнейших вычислений удобно
составить таблицу 5.1 значений
,
(при вычислении значений
берем 4 цифры после запятой).
Таблица 5.1.
-
i
=
i
=
0
0
0,0000
6
3
13,0767
1
0,5
1,6956
7
3,5
15,8469
2
1
3,6056
8
4
18,7617
3
1,5
5,7119
9
4,5
12,8146
4
2
8,0000
10
5
25,0000
5
2,5
10,4583
Теперь формула (5.2) для нашей задачи примет вид
=0,5(1,6956 + 3,6056 + 5,7119 + 8,0000 + 10,4583 + 13,0767 + 15,8469 +
+ 18,7617 + 12,8146 + 25,0000) = 61,98565.
Итак,
=55,666,
Вычисляем погрешности по формулам
(5.6):
3). Применим формулу трапеций (5.3), используя полученную таблицу 5.1 (так как узлы те же самые, что и при использовании метода прямоугольников). Итак, формула трапеций (5.3) для нашей задачи примет вид
= 0,25(0 + 25) + 0,5(1,6956 + 3,6056 + 5,7119 + 8,0000 + 10,4583 + 13,0767 + +15,8469 + 18,7617 + 12,8146) = 6,25 + 0,5 98,9713 = 55,7357.
Итак,
=55,666,
Вычисляем погрешности по формулам
(5.6):
4). Применим формулу
парабол (5.5). Имеем
,
,
=10,
,
.
Узлы
определяем по формуле (5.4):
.
Составим таблицу 5.2 значений
,
(при вычислении значений
берем 4 цифры после запятой).
Таблица 5.2.
-
i
=
i
=
0
0
0,0000
11
2,75
11,7480
1
0,25
0,8197
12
3
13,0767
2
0,5
1,6956
13
3,25
14,4433
3
0,75
2,6250
14
3,5
15,8469
4
1
3,6055
15
3,75
17,2867
5
1,25
4,6351
16
4
18,7617
6
1,5
5,7118
17
4,25
20,2712
7
1,75
6,8339
18
4,5
12,8146
8
2
8,0000
19
4,75
23,3910
9
2,25
9,2085
20
5
25,0000
10
2,5
10,45835
Применяя формулу
парабол (5.5), получим
=
(
0,0000
+ 25,0000
) + 4( 0,8197
+ 2,6250
+ 4,6351
+ …. + 23,3910)
+
+ (1,6956
+ 3,6055
+ 5,7118
+ … + 12,8146)
= 55,6451.
Вычисляем погрешности по формулам (5.6):
Как видно, расчеты по формуле парабол (Симпсона) дают самый точный ответ (самая малая относительная погрешность).
Лекция 4
6. Геометрические приложения определенного интеграла
Применение определенного интеграла к вычислению
площадей фигур в прямоугольной системе координат
Пусть задана
функция
,
непрерывная на отрезке
.
Тогда площадь
фигуры, ограниченной графиком функции
(
при
),
осью
(прямая
),
прямыми
(см. рис. 6.1) вычисляется по формуле
. (6.1)
Если же заданы две
функции
,
,
непрерывные на отрезке
,
причем на этом отрезке
(график функции
лежит ниже графика функции
),
то площадь
фигуры, ограниченной графиками этих
функций и прямыми
(см. рис. 6.2), вычисляется по формуле
. (6.2)
Рис. 6.1. Рис. 6.2.
Пример 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной
графиком функции
,
осью
,
если
.
Решение:
В данном случае необходимо применить
формулу (6.1), в которой
,
.
Итак,
.
Пример 2.
Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
и прямой
.
Решение:
Для решения задачи необходимо применить
формулу (6.2). Сначала определим функции
,
и отрезок интегрирования
.
Сделаем чертеж (см. рис. 6.3).
Из чертежа видно,
что
|
Рис. 6.3 |
,
,
.
Тогда
