§ 3. Угол между двумя прямыми. Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми.

Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y₁ = k₁x + B₁,         

y₂ = k₂x + B₂,     (1)

то угол между ними θ определяется по формуле

     (2)

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (3)

угол между ними определяется по формуле

     (4)

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (1) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (5)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (3), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (6)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (1) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (7)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     (8)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (3), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (9)

Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (3). Прямые (3) пересекаются в том и только в том случае, когда

Уравнения биссектрис углов между прямыми Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:

     (1)

Можно положить α=1, исключив этим из пучка вторую из данных прямых.

§ 4. Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно.

В полярной системе координат основными постоянными элементами, по отношению к которым определяется положение точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Если M - произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом O, то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: r - ее расстояния от полюса, выраженного в единицах масштаба, и - угла, на который следует повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом OM. Числа r и называются полярными координатами точки M. Из них первой координатой считается r, а второй . Координата r называется полярным радиусом точки M (иногда радиус-вектором точки M), а координата - ее полярным углом (полярный угол измеряется в радианах). Полярные координаты записываются в скобках справа от ее обозначения, причем на первом месте в скобках записывается координата r, а на втором - координата , например, . Полярный угол считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.

В определенной таким образом полярной системе координат полярный радиус r - всегда величина положительная или равная нулю ( ), так как под r понимается расстояние от полюса O до точки M, а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой мы и будем пользоваться.

Если точка M имеет координаты +r и φ, то она имеет также и координаты -r и φ+π, так как угол φ+π характеризует направление полярного радиуса, прямо противоположное тому, которое соответствует углу .

Отметим, что какой бы из двух систем полярных координат мы не использовали, всегда паре чисел r и соответствует на плоскости единственная точка.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ox совпадает с полярной осью, ось же Oy перпендикулярна оси Ox и направлена так, что ей соответствует полярный угол , то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные координаты вычисляются из формул:

     (1)

Если же известны прямоугольные координаты x и y точки, ее полярные координаты определяются по формулам

     (2)

     (3)

Как видно из (2), у корня в формуле для определения r стоят два знака - плюс и минус, что соответствует обобщенной системе полярных координат, а потому и в формулах для определения и перед корнем стоят два знака. Два знака в формуле для определения r появились потому, что r находится из выражения r² = x² + y². Если за r оставляется право быть только величиной положительной или нулем, то . Если же r, как это имеет место в обобщенной системе полярных координат, может быть и отрицательной величиной, то из r² = x² + y² следует, что

.

В заключение укажем, как вести вычисления по формулам (2), чтобы по известным прямоугольным координатам точки найти ее полярные координаты. Прежде всего следует определить r, выбрав под корнем любой знак, затем вычислить и , сохранив перед корнем в формулах (2) уже выбранный знак, и по знакам и установить четверть, в которой находится полярный угол . Само вычисление угла по таблицам тригонометрических функций следует вести по формуле (3).

Для построения в полярной системе координат точки M по ее полярным координатам r и по заданному полярному углу строим ось, проходящую через полюс под углом к полярной оси, причем положительное направление построенной оси должно совпадать с тем направлением, которое бы имела полярная ось, если бы ее повернули против часовой стрелки на угол . На этой оси откладываем отрезок длиной |r| от полюса O в положительном направлении построенной оси, если r > 0, и в отрицательном - если r < 0.