2. Построение и анализ эконометрической модели

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях, т.е. выполняется третье условие Гаусса-Маркова: , i= 1,2,…,n. Если это условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Основные причины автокорреляции: ошибки спецификации модели, инерция экономических процессов, сглаживание данных и эффект «паутины». Последствия: неэффективные оценки параметров, смещенные дисперсии оценок, - все это ведет к ложным t- и F-статистикам. Основные методы определения автокорреляции: графический метод, метод рядов, критерий Дарбина-Уотсона, h-статистика, тест Бреуша-Годфрея. В данной работе будут использоваться последние 3 метода.

Автокорреляция обычно встречается только в регрессионном анализе временных рядов. Поэтому для того, чтобы исследовать данную проблему, были выбраны 3 временных ряда годовых данных(1982-2007 гг): GDPРC( ВВП на душу населения в США), EMPL( количество занятых в США ), INVS( объем инвестиций в США), (приложение 9).

На первом этапе построения регрессии на основе временных рядов необходимо проверить эти ряды на стационарность.

Стационарность

Существует несколько способов осуществления этого анализа, например, графический, анализ коррелограмм, проверка теста «единичного корня»( тест Дики-Фуллера (DF-тест), расширенный тест Дики-Фуллера (ADF-тест), тест Филипса-Перрона (РР-тест), тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS-тест)).

Графический: На графиках (приложение 1) видно, что все 3 временных ряда имеют тенденцию к возрастанию(временной возрастающий тренд). Это говорит о том, что нарушается одна из основных предпосылок стационарности: независимость математического ожидания ряда от времени. Соответственно, данные ряды нестационарные в уровне, или стационарные относительно тренда или разностей.

Коррелограммы: рассматривая коррелограммы(приложение 2) вр. рядов, можно сделать предположение, что они нестационарные в уровне, т.к. значения функций ACF убывают по экспоненте и выходят за рамки доверительного интервала, причем все три коррелограммы указывают на то, что временные ряды описывают AR(1).

Рассмотрим результаты проведенных тестов «единичного корня».

Т.к. на основе коррелограмм было сделано предположение о том, что ряды описывают АR(1), то будем использовать ADF, а не DF- тест.

Результаты применения теста adf

Переменная	Спецификация	ADF-статистика	Критические значения (=0,05)	Результат
GDPPC	T,1	-3.264292	-3.6118	Нестац.
∆GDPPC	С,0	-4.629466	-2.9907	Стац.
EMPL	Т,1	-3.234069	-3.6118	Нестац.
∆EMPL	С,0	-3.729471	-2.9907	Стац.
INVS	T,1	-2.250333	-3.6118	Нестац.
∆INVS	С,0	-4.098671	-2.9907	Стац.

Полные результаты ADF – теста приведены в приложении №3.

В данной таблице указаны ADF- статистики тех спецификаций, в которых коэффициенты при соответствующих параметрах являются статистически значимыми. Исходя из результатов теста, можно сделать вывод, что все 3 ряда являются нестационарными в уровне, т.к. значения ADF – теста для GDPPC, EMPL, INVS больше критического значения, но стационарные в первых разностях, т.к. значения ADF – теста для ∆GDPPC, ∆EMPL, ∆INVS меньше критического значения. Соответственно, исходные временные ряды являются стационарными в разностях первого порядка или интегрированными рядами первого порядка I(1). Т.к. все 3 ряда – I(1), то можно построить модель коинтеграции.

Ввиду того, что тест ADF является самым сильным по сравнению с другими, то ограничимся только его применением.

Рассмотрим модель коинтеграции, полученную путем оценивания параметров исходной модели GDPPC = C(1) + C(2)*INVS + C(3)*EMPL методом МНК. Модель имеет вид:

GDPPC = -7182.361718 + 2459.891552*INVS + 272.6096286*EMPL (1)

Основные характеристики представлены в таблице ниже.

Таблица 2. Данные по модели (1)

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-7182.362	913.4546	-7.862855	0.0000
INVS	2459.892	478.0391	5.145796	0.0000
EMPL	272.6096	12.93961	21.06784	0.0000
R-squared	0.996552	Mean dependent var		30054.00
Adjusted R-squared	0.996252	S.D. dependent var		4590.875
S.E. of regression	281.0537	Akaike info criterion		14.22314
Sum squared resid	1816797.	Schwarz criterion		14.36830
Log likelihood	-181.9008	F-statistic		3323.705
Durbin-Watson stat	0.837906	Prob(F-statistic)		0.000000

Для того чтобы подтвердить наше предположение о коинтегрированности рядов в данной модели проверим на стационарность и нормальность распределения ряда остатков модели (1). Рассматривая график остатков(приложение 4), видно, что среднее значение ряда, равное 0, не изменяется, однако дисперсия остатков увеличивается, поэтому предположение о стационарности ряда остатков весьма сомнительно. Рассматривая коррелограмму(приложение 4), видно, что ACF убывает по экспоненте, первый лаг в ACF и PACF выступает за доверительный интервал, что является признаком AR(1), - все это указывает на нестационарность ряда остатков. Но коррелограмма не является точным определителем стационарности, поэтому рассмотрим результаты ADF-теста остатков. Согласно результату теста (приложение 4), ряд остатков является стационарным (спецификация - N, 0):

ADF Test Statistic	-2.521814	1% Critical Value*	-2.6603
		5% Critical Value	-1.9552
		10% Critical Value	-1.6228

Т.к. ADF-тест является самым сильным по сравнению с другими, то ограничимся им.

Несмотря на то, что тест подтвердил стационарность ряда остатков, ряд не является «белым шумом»(т.к. первый лаг остатков в ACF, PACF выходит за рамки доверительного интервала), что необходимо для качественной модели. Однако ввиду наличия автокорреляции ряда, можно сделать предположение, что избавившись от нее, получим «белый шум» остатков.

Для проверки предположения о нормальности распределения остатков необходимо использовать тест Жака-Бера(приложение 4):

Jarque-Bera 0,907555

Probability 0,635224

Так как Р-вероятность больше  (=0,05), то принимается гипотеза Н₀ о нормальности распределения остатков.

Таким образом, исходя из вышеизложенных результатов можно сделать вывод, что ряды в модели (1) являются коинтегрированными.

Далее проанализируем качество модели:

Из таблицы 2 видно, что все коэффициенты модели (1) являются статистически-значимыми (Prob. < 0,05) и коэффициент детерминации также статистически-значим (Prob(F-statistic)< 0,05). Высокий коэффициент детерминации заставляет протестировать модель на мультиколлинеарность. Коэффициент корреляции между INVS и EMPL = 0,947803, что говорит о мультиколлинеарности. Рассмотрим вспомогательную модель:

INVS = -1.58724233 + 0.02565523396*EMPL ,

R-squared

0.898331

Prob(F-statistic)

0.000000

Вероятность меньше 0,05, значит коэф. детерминации вспомогательной модели значим, соответственно, есть мультиколлинеарность.

Итак, наличие мультиколлинеарности отчасти объясняет очень высокий коэффициент детерминации модели (1), но t –статистики коэффициентов являются значимыми (Табл. 2), соответственно, мультиколлинеарность не представляет особой проблемы, и можно далее анализировать полученную коинтеграцию.

Знаки коэффициентов совпадают с экономическим смыслом модели. Только отрицательный свободный член не имеет экономического смыла, однако, ввиду того, что нулевое значение инвестиций и количество занятых в реальности не бывает, то отрицательный коэффициент не представляет особой проблемы.

Проверим модель на гетероскедостичность с помощью теста Уайта.

Рассмотрим результаты теста:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	1.236744	Probability	0.325678
Obs*R-squared	4.957085	Probability	0.291729

Вероятность 0,291729 больше уровня значимости 0,05, соответственно принимается гипотеза Н0 , т.е. гомоскедастичность.

На мой взгляд, в полученной модели можно предположить наличие автокорреляции, т.к. во-первых, показатель реальный ВВП на душу населения(GDPPC) может реагировать с запаздыванием на изменение инвестиций, во-вторых, данный экономический показатель может обладать цикличностью изменений.

Проанализируем модель на наличие автокорреляции с помощью теста Бреуша-Годфрея, статистики Дарбина-Уотсона и h-статистики.

Рассмотрим критерий Дарбина-Уотсона.

Критерий DW предполагает, что случайные отклонения связаны авторегрессионной схемой первого порядка. Причем DW не используется для моделей с авторегрессионной зависимой переменной лага 1. В основе критерия лежит расчет статистики:

,

0 . Определив статистику DW, необходимо определить критические точки статистики DW: dl-нижняя граница и du- верхняя граница. Далее по следующей схеме определяется наличие и вид автокорреляции:

Если DW<dl – положительная автокорреляция

Если DW>4-dl – отрицательная автокорреляция

Если du<DW<4-du – автокорреляция отсутствует

Если dl<DW<du или 4-du<DW<4-dl – гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется и не принимается.

В нашей модели (1) статистика DW=0.837906 (Табл.2), dl=1,224 du=1,553, которые определили по таблице критических точек DW. Соответственно, DW<dl, и делаем вывод о присутствии в модели положительной автокорреляции первого порядка.

Рассмотрим тест Бреуша-Годфрея.

Данный тест позволяет определить наличие автокорреляции порядка р. В основе критерия лежит оценка вспомогательной регрессии ei на все регрессоры модели (1) + лаговые переменные (ei-1, ei-2, … , ei-p). Рассмотрим результаты теста для р=4:

Таблица 3. Результаты теста Бреуша-Годфрея.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	3.889575	Probability		0.017959
Obs*R-squared	11.70532	Probability		0.019683
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-265.7345	749.9205	-0.354350	0.7270
INVS	-356.3602	411.1832	-0.866670	0.3969
EMPL	6.537101	10.78356	0.606210	0.5515
RESID(-1)	0.568501	0.215981	2.632180	0.0164
RESID(-2)	0.168161	0.246803	0.681357	0.5039
RESID(-3)	-0.092919	0.256864	-0.361744	0.7215
RESID(-4)	-0.417567	0.251427	-1.660790	0.1132

Из таблицы видно, что Prob. =0.019683 меньше уровня значимости 0,05, значит принимается гипотеза Н1 о наличии автокорреляции, причем первого порядка, т.к. на уровне 0,05 значимым является коэффициент при еt-1 .

Рассмотрим h-статистику.

H-статистика используется, когда в модели присутствует лаговая зависимая переменная. Соответственно, введем в модель(1) переменную GDPPC(-1) в качестве объясняющей( На коррелограмме остатков, приложение 4, первый лаг выступает за доверительный интервал). Новая модель(2) имеет вид:

GDPPC = -3619.285761 + 2352.442112*INVS + 166.1247052*EMPL + +0.327762306*GDPPC(-1) (2)

Таблица 4. Оценки модели (2).

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-3619.286	1437.341	-2.518043	0.0200
INVS	2352.442	433.9763	5.420670	0.0000
EMPL	166.1247	36.17516	4.592231	0.0002
GDPPC(-1)	0.327762	0.104922	3.123872	0.0051
R-squared	0.997391	Mean dependent var		30335.56
Adjusted R-squared	0.997018	S.D. dependent var		4450.534
S.E. of regression	243.0356	Akaike info criterion		13.96994
Sum squared resid	1240393.	Schwarz criterion		14.16496
Log likelihood	-170.6242	F-statistic		2675.713
Durbin-Watson stat	1.298005	Prob(F-statistic)		0.000000

Из таблицы видно, что коэффициент при GDPPC(-1) статистически значим, т.к. вероятность=0,0051 меньше уровня значимости 0,05. Теперь можно использовать h-статистику для обнаружения автокорреляции в модели(2). Н-статистики рассчитывается по формуле:

,

где - оценка с автокорреляции первого порядка et=cet-1 +vt , - оценка дисперсии коэффициента при лаговой зависимой переменной. обычно вычисляется по формуле =1- 0,5DW, а как квадрат стандартной ошибки оценки коэффициента перед лаговой переменной. Далее значение h- статистики сравнивается с двусторонней критической точкой стандартного нормального распределения Z /2 . Если |h| < Z /2 , то принимается гипотеза Н0 об отсутствии, если |h| >= Z /2 , то принимается гипотеза Н1 о наличии AK. Рассмотрим результаты h –статистики для модели (2):

,

где все необходимые значения взяты из таблицы (4). Z0,05/2 = 1,96 , h>1,96 , соответственно гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается на уровне значимости 0,05. Однако на уровне значимости 0,1 Z0,1/2 = 2,58 , гипотеза Н0 принимается. Следует также отметить, что h-статистика применяется для большой выборки, в то время как в модели (2) всего 25 наблюдений, поэтому выводы могут быть не точны.

В таком случае проверим полученную коинтеграцию с лаговой зависимой переменной(модель 2) с помощью теста Бреуша-Годфри. Результаты теста(приложение 5) говорят об отсутствии автокорреляции, т.к. вероятность 0.544816 больше уровня значимости 0,05. Т.е. на основании теста можно считать, что введя лаговою зависимую переменную в модель коинтаграции (1), мы избавляемся от автокорреляции.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
Obs*R-squared	1.214615	Probability	0.544816

Теперь проверим остатки модели (2).

Во-первых, остатки по тесту Жака-Бера имеют нормальное распределение, т.к. статистика 0,3214 больше уровня значимости 0,05 (приложение 6).

Во-вторых, из коррелограммы (приложение 6) видно, что остатки не выходят за доверительный интервал.

В-третьих, по результатам теста ADF остатки стационарны(спецификация N,0), т.к. значение -4.830056 меньше -1.9559 :

ADF Test Statistic	-4.830056	1% Critical Value*	-2.6649
		5% Critical Value	-1.9559
		10% Critical Value	-1.6231

Соответственно, ряд остатков модели коинтеграции с лаговой зависимой переменной образуют Гауссовский «белый шум».

Итак, введя лаговою зависимую переменную в исходную модель коинтеграции, мы избавились от автокорреляции (на основе теста Бреуша-Годфри) и получили ряд остатков, образующий «белый шум».

Рассмотрим еще 2 модели, построенные на основе исходной коинтеграции, которые позволяют избавиться от автокорреляции и получить «белый шум» остатков: модель на абсолютных приростах, и модель ЕСМ.

Рассмотрим модель на абсолютных приростах.

Модель абсолютных приростов имеет вид:

D(GDPPC) = 256.7981803 + 3427.76314*D(INVS) + 102.0415945*D(EMPL) (3)

Проанализируем полученную модель (3). Количество наблюд.=25

Dependent Variable: D(GDPPC) Таблица 5.

Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	256.7982	78.06387	3.289591	0.0033
D(INVS)	3427.763	634.8926	5.398965	0.0000
D(EMPL)	102.0416	47.76455	2.136346	0.0440
R-squared	0.825130	Mean dependent var		590.0000
Adjusted R-squared	0.809233	S.D. dependent var		464.5022
S.E. of regression	202.8800	Akaike info criterion		13.57527
Sum squared resid	905526.1	Schwarz criterion		13.72154
Log likelihood	-166.6909	F-statistic		51.90404
Durbin-Watson stat	1.785809	Prob(F-statistic)		0.000000

На уровне значимости 0,05 все оценки коэффициентов и коэффициент детерминации являются статистически значимыми. На первом этапе анализа временных рядов был сделан вывод о стационарности рядов GDPPC, EMPL, INVS в первых разностях, соответственно ряды D(GDPPC), D(EMPL), D(INVS) стационарны в уровне. Проанализируем остатки в модели (3):

1) Остатки имеют нормальное распределение, т.к. по тесту Жака-Бера (приложение 7) вероятность = 0,949 больше уровня значимости 0,05.

2. Рассмотрев коррелограмму остатков(приложение 7), можно сделать вывод: временной ряд остатков модели (3) – стационарный и образует «белый шум», т.к. ни одно значение ACF и PACF не выходят за рамки доверительного интервала и убывают по синусоиде.

3. Результаты теста ADF следующие (спецификация N,0):

ADF Test Statistic	-5.359425	1% Critical Value*	-2.6649
		5% Critical Value	-1.9559
		10% Critical Value	-1.6231

Из таблицы видно, что ряд остатков стационарный.

Проверим модель (3) на мультиколлинеарность, гетероскедостичность и автокорреляцию.

Оценив вспомогательную регрессию вида D(EMPL) = C(1) + C(2)*D(INVS) получили след. модель:

D(EMPL) = 1.333335694 + 9.545048441*D(INVS)

(t) 4.948508

Prob. 0.0001

Т.к. коэффициент перед D(INVS) статистически значим, то можно говорить о наличии мультиколлинеарности. Однако все коэффициенты модели(3) значимы, соответственно, мультиколлинеарность не представляет особой проблемы.

Проверим модель на гетероскедостичность с помощью теста Уайта.

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	1.180420	Probability	0.349465
Obs*R-squared	4.774836	Probability	0.311191

Из результатов теста видно, что вероятность больше уровня значимости 0,05, соответственно модель (3) гомоскедостична.

Проверим модель на наличие автокорреляции.

Рассмотрим статистику DW. Значение DW = 1.785809 (Таблица 5). Для 25 наблюдений dl=1,206 и du=1,55. DW>du, соответственно автокорреляция отсутствует.

Рассмотрим тест Бреуша-Годфрея для 2-ух лагов.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	1.109896	Probability	0.349060
Obs*R-squared	2.497538	Probability	0.286858

Из результатов теста видно, что вероятность больше уровня значимости 0,05, соответственно автокорреляция отсутствует.

Итак, в результате получена довольно качественная регрессионная модель. Данная модель показала, что избавившись от автокорреляции в исходной коинтеграции (1) путем взятия разностей, получаем «белый шум» остатков. Экономический смысл модели также не теряется: теперь мы рассматриваем, как влияет абсолютный прирост инвестиций и прирост занятых в экономике влияют на прирост ВВП на душу населения.

Модель коррекции ошибок.

Модель коррекции ошибок имеет вид:

D(GDPPC) = 2709.469209*D(INVS) + 185.7802293*D(EMPL) - 0.3545675398* *(GDPPC(-1) - 2459.892*INVS(-1) - 272.6096*EMPL(-1) + 7182.362) + 0.1872801255*D(GDPPC(-5)) (4)

В модели присутствует лаговая зависимая переменная, т.к. в исходной коинтеграции была обнаружена автокорреляция.

Рассмотрим основные характеристики параметров модели ЕСМ:

Таблица 6. Параметры модели (4).

Dependent Variable: D(GDPPC)
Method: Least Squares
Date: 12/12/08 Time: 22:55
Sample(adjusted): 1987 2006
Included observations: 20 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(INVS)	2709.469	548.4054	4.940632	0.0001
D(EMPL)	185.7802	27.65327	6.718201	0.0000
GDPPC(-1) - 2459.892*INVS(-1) - 272.6096*EMPL(-1) + 7182.362	-0.354568	0.120871	-2.933429	0.0097
D(GDPPC(-5))	0.187280	0.052404	3.573773	0.0025
R-squared	0.874630	Mean dependent var		586.5500
Adjusted R-squared	0.851123	S.D. dependent var		383.5169
S.E. of regression	147.9786	Akaike info criterion		13.00887
Sum squared resid	350362.6	Schwarz criterion		13.20802
Log likelihood	-126.0887	Durbin-Watson stat		1.742497

Из таблицы видно, что все коэффициенты статистически значимы на уровне 0,05, коэффициент детерминации также достаточно высок, значение F-статистики =14,8859, а Fкр= 3,06, соответственно, R-squared значим.

Коэффициенты 2709.469 и 185.7802 характеризуют краткосрочную динамику GDPPC, причем коэффициент -0.354568 показывает, что примерно 35% разницы между долгосрочным GDPPC и краткосрочным GDPPC устраняется за 1 год.

Проанализируем остатки модели ЕСМ на гетероскедостичность, автокорреляцию и стационарность.

Рассматривая коррелограмму остатков(приложение 8), можно сделать вывод, что временной ряд остатков модели ЕСМ – стационарный и образует «белый шум», т.к. ни одно значение ACF и PACF не выходит за рамки доверительного интервала. Рассмотри результаты теста ADF(спецификация N,0) :

ADF Test Statistic	-4.206456	1% Critical Value*	-2.6968
		5% Critical Value	-1.9602
		10% Critical Value	-1.6251

Из таблицы видно, что ряд остатков стационарный.

Проанализируем распределение остатков модели ЕСМ:

Jarque-Bera 1,708954

Probability 0,425506

Так как Р-вероятность больше  (=0,05), то принимается гипотеза Н₀ о нормальности распределения остатков.

Рассмотрим результаты теста DW и Бреуша-Годфри на наличие автокорреляции.

Значение DW = 1.742497 (Таблица 6). Для 20 наблюдений dl=0,894 и du=1,828. dl<DW<du, соответственно гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается и не принимается. Причем необходимо отметить, что при наличии в модели авторегрессионной переменной лучше использовать тест Бреуша-Годфрея или h – статистику.

Рассмотрим тест Бреуша-Годфрея для 5 лагов.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.194787	Probability	0.958128
Obs*R-squared	1.210991	Probability	0.943819

Из результатов теста видно, что вероятность больше уровня значимости 0,05, соответственно автокорреляция отсутствует.

Проверим модель на гетероскедостичность с помощью теста Уайта.

Рассмотрим результаты:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.968519	Probability	0.504907
Obs*R-squared	8.265511	Probability	0.407973

По приведённым результатам можно сделать вывод о том, что в модели присутствует гомоскедастичность (так как Р-вероятность, равная 0.407973, больше, чем  (=0,05)).

Таким образом, качество построенной модели ЕСМ можно считать удовлетворительным, т.к. остатки образуют «белый шум», они гомоскедостичны, и не автокоррелированны. Также можно сделать вывод, что на динамику GDPPC (ВВП на душу населения) влияют краткосрочные колебания INVS( объема инвестиций), EMPL( количества занятых в экономике), а также отклонения краткосрочного GDPPC от равновесного GDPPC.