4. Ряды фурье

4.1. Периодические функции. Периодические процессы

При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (они встречаются в радиотехнике, электротехнике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве , называется периодической с периодом , если при каждом значение и выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период , есть периодическая функция с периодом .

2. Если функция имеет период , то функция имеет период .

3. Если функция имеет период и интегрируема на отрезке , то при любых и .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен .

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

, (4.1)

где ,  амплитуда колебания,  частота,  начальная фаза.

Функция такого вида и ее график называют простой гармоникой. Основным периодом функции (4.1) является . показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени.

Проведем преобразования функции (4.1):

,

или

, (4.2)

где . Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и .

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (4.1) или (4.2)? Если да, то, как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый.

4.2. Тригонометрический ряд Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Определение 4.1. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (4.3)

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые помогут найти коэффициенты ряда (4.3) .

Считая и целыми положительными числами, находим:

(1) Если , то ;

Если , то .

(2) При любом .

(3) Если , то

Если , то

.

(4) При любых и

(5) Если , то

Если , то

.

Замечания.

1. Формулы (1) – (5) показывают, что семейство функций

обладают свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину , равен нулю.

2. Формулы (1) – (5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок .

Пусть  произвольная периодическая функция с периодом . Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является суммой ряда:

. (4.4)

Так как функция (и сумма ряда) имеет период , то ее можно рассматривать в любом промежутке длины . В качестве основного промежутка возьмем отрезок (также удобно взять отрезок ) и предположим, что ряд (4.4) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и . Для этого проинтегрируем обе части равенства (4.4) в пределах от до .

.

Интегралы от всех, кроме нулевых членов ряда равны нулю в силу формул (1) и (2).

Отсюда

. (4.5)

Умножив обе части равенства (4.4) на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от до , получаем:

В силу формул (1), (3) и (4) из последнего равенства при получаем:

.

Отсюда

. (4.6)

Аналогично, умножив равенство (4.4) на и проинтегрировав почленно на отрезке , найдем:

. (4.7)

Итак, заранее предполагая, что функция может быть разложена в тригонометрический ряд (4.4), мы сумели найти все его коэффициенты.

Определение 4.2. Ряд вида:

называется рядом Фурье функции .

Коэффициентами Фурье функции называются числа и определяемые формулами

, , где .