4.7 Краткие теоретические предпосылки лабораторной работы

Вынужденными колебаниями называются процессы, происходящие в контуре, содержащем конденсатор, катушку индуктивности, резистор и источник с переменной ЭДС, включенные последовательно и образующие замкнутую электрическую цепь.

Если ЭДС источника меняется по гармоническому закону, то в контуре наблюдаются вынужденные гармонические колебания. При этом ток в контуре также будет переменным, подчиняющимся закону Ома в комплексной форме.

Комплексная величина есть определенная совокупность двух алгебраических чисел:

, (64)

где А – действительная часть, В – мнимая часть, Z – модуль, φ – фаза

комплексной величины. Графически изображается как радиус-вектор на

комплексной плоскости: его длина равна Z, а угол между вектором и горизонтальной (действительной) осью равен φ.

Комплексный ток и комплексное напряжение – это векторы, которые

вращаются с угловой скоростью ω:

(65)

где – комплексная амплитуда напряжения; – комплексная амплитуда тока.

и – комплексные векторы, которые на комплексной плоскости неподвижны. Они соответствуют «мгновенной фотографии» реальных комплексных токов и напряжений, сделанной в начальный момент времени (t = 0).

Комплексная амплитуда – сама комплексная величина, взятая в начальный момент времени.

Рисунок 19 Импеданс

Математически (импеданс):

(66)

Импеданс – это отношение комплексной амплитуды напряжения на данном элементе к комплексной амплитуде тока через данный элемент (рисунок 19).

Модуль импеданса называется полным электрическим сопротивлением цепи.

(67)

где Δφ=φ_u-φ_i.

а) Резистор:

, (68)

Фазы напряжения и тока одинаковые. Импеданс равен R:

ZR ≡ XR = R. (69)

б) Катушка индуктивности. Действует закон электромагнитной индукции

(самоиндукции):

(70)

Использовав (70) и закон Ома для комплексных величин, получим:

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(76) – импеданс катушки индуктивности.

Напряжение на катушке опережает по фазе ток через нее на π/2.

в) Конденсатор:

(77)

(78)

(79)

откуда получим

(80)

Пусть , тогда

(81)

(82)

Найдём отношение

(83)

отсюда

(84)

(84) – комплексное сопротивление (импеданс) конденсатора.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока через него на π/2.

Модуль комплексного сопротивления (катушки или конденсатора) называется реактивным сопротивлением (индуктивным или емкостным).

Обозначается символом без крышечки над ним.

Все элементы в контуре соединены последовательно, поэтому для нахождения импеданса контура надо просуммировать импедансы всех элементов:

(85)

После подстановки можем получить модуль импеданса, то есть полное сопротивление контура:

. (86)

Резонансом для тока называется явление резкого увеличения амплитуды колебаний тока при приближении частоты ЭДС к некоторому значению, называемому резонансной частотой ω_РЕЗ. Нетрудно видеть, что максимум амплитуды тока будет тогда, когда минимально полное сопротивление контура,

или Z_РЕЗ = R и , отсюда

(87)

что соответствует частоте свободных колебаний в контуре.

Максимум напряжения на конденсаторе соответствует резонансу для напряжения, который наблюдается при несколько меньшей частоте ЭДС:

(88)

где – коэффициент затухания для данного контура.

Амплитуда резонансного напряжения на конденсаторе U_0C пропорциональна амплитуде ЭДС и добротности контура Q:

U_0C = Q ∙ ε₀. (89)

При не слишком большом затухании в контуре добротность определяется

соотношением:

(90)

где называется характеристическим сопротивлением контура. Чем больше добротность, тем «острее» резонанс.

Резонансной кривой называется зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты ЭДС.