1. Введение в математический анализ
Определение функции. Что называется областью определения функции?
Основные способы задания функции. Примеры.
Какая функция называется периодической? Примеры.
Какие функции называются четными, нечетными? Примеры.
Какие функции называются возрастающими, убывающими? Примеры.
Какие функции называются элементарными, основными элементарными? Примеры.
Какая функция называется сложной? Примеры.
Определение предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Как связаны понятия предела функции с понятиями ее пределов слева и справа?
Определение ограниченной функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
Какая функция называется бесконечно большой, как она связана с бесконечно малой?
Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.
Замечательный предел
.
2. Непрерывность функции одной переменной
1. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.
2. Какие точки называются точками разрыва функции?
3. Сформулируйте основные свойства непрерывности функций и дайте
геометрическое истолкование этим свойствам.
4. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
3. Производная и дифференциал функции одной переменной
1. Сформулируйте определение производной. Какой ее механический и
геометрический смысл?
2. Какой класс функций шире: непрерывных или дифференцируемых?
Приведите примеры.
3. Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух
функций. Приведите примеры.
4. Выведите формулу дифференцирования сложной функции.
5. Запомните таблицу основных формул дифференцирования.
6. Сформулируйте определение дифференциала функции. Каков его
геометрический смысл?
7. Сформулируйте определение производной высших порядков.
8. Каков механический смысл второй производной?
9. Как вычислить дифференциал второго порядка?
4. Исследование поведения функции и построение её графика
1. Сформулируйте теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл?
2. Сформулируйте теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?
3. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида
или
.
Приведите примеры.
4. Сформулируйте определение возрастающей и убывающей на отрезке
функции.
5. Выведите достаточный признак возрастания функции.
6. Сформулируйте определение точки максимума и минимума.
7. Сформулируйте два правила для отыскания экстремумов функции.
8. Приведите пример, доказывающий, что обращение в некоторой точке
производной в нуль не является достаточным условием наличия в этой
точке экстремума функции.
9. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции, дифференцируемой
на отрезке? Всегда ли они существуют?
10. Сформулируйте определения выпуклости и выгнутости линии, точки перегиба.
11. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба
линии, заданной
уравнением
?
Приведите пример.
12. Сформулируйте определение асимптоты линии.
13. Как находятся вертикальные асимптоты линии, заданной уравнением
? Приведите пример.
14. Как находятся невертикальные асимптоты линии, заданной уравнением
? Приведите пример.
15. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.