1Теоретичні відомості

1.1Постулати Бора. Походження лінійчатих спектрів

В теорії Бора розглядається будова та процеси випромінювання атома водню та воднеподібних атомів, тобто іонів, які складаються з ядра та одного електрона (He⁺, Li²⁺, Be³⁺, …). Заряд ядра дорівнює +Ze, де Z –атомний номер елемента, e – елементарний заряд. В простішому варіанті теорії Бора вважається, що електрон рухається в полі ядра по круговій орбіті під дією кулонівської сили, яка і надає електрону доцентрового прискорення. Справедливість такого припущення витікає з результатів дослідів Резерфорда, які свідчать, що закон Кулона виконується принаймні до відстаней між зарядами ~ 10^–14 м, що на чотири порядки менше розміру атомів. Згідно законам класичної механіки, електрон може обертатися навколо ядра по круговій орбіті будь-якого радіуса, тобто ніяких обмежень на орбітальний рух електрона не існує, отже, і повна механічна енергія електрона в атомі може набувати довільних значень. Але Бор, всупереч таким висновкам класичної механіки, формулює постулати про існування певних обмежень на рух електрона в атомі, стверджуючи, по суті, існування деяких додаткових (не класичних) законів руху та випромінювання в атомних системах.

Перший постулат (про існування стаціонарних станів). Електрон в атомі може здійснювати стійкий рух лише по певних, дозволених орбітах, які називаються стаціонарними. Обертаючись по будь-якій з стаціонарних орбіт, електрон не випромінює електромагнітні хвилі, а отже повна енергія електрона (енергія атома) в стаціонарних станах не змінюється. Кожному стаціонарному стану атома відповідає строго визначена енергія, тобто енергія атома може дорівнювати лише одному із значень дискретного ряду E_1, E₂, … E_n, … (E₁ < E₂ < … < E_n …), які називаються енергетичними рівнями атома. Інших значень енергія атома набувати не може.

Другий постулат (рівняння частот). Енергія атома може змінюватись тільки стрибкоподібно – шляхом квантового переходу атома з одного стаціонарного стану в інший (переходу електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу). При переході електрона з енергетичного рівня з більшою енергією E_к на рівень з меншою енергією Е_n атом випромінює квант енергії, частота ν якого визначається умовою:

, (1)

При квантовому переході в зворотному напрямку, Е_к Е_n, атом поглинає відповідну кількість енергії. Набір усіх можливих дискретних частот ν_кn при квантових переходах і визначає лінійчатий спектр випромінювання атома.

Відмітимо, що рівняння частот (1) написано на основі застосування для квантових переходів закону збереження енергії.

При вирішенні питання про те, які саме електронні орбіти в атомі є дозволеними, Бору довелося ввести ще одну додаткову гіпотезу, яку називають умовою квантування (іноді – третім постулатом): орбітальний момент імпульсу електрона на дозволеній (стаціонарній) орбіті повинен бути кратний величині :

(2)

де m – маса електрона; v – швидкість його руху по орбіті радіуса r; h – стала Планка.

1.2Теорія Бора для воднеподібних атомів

В теорії Бора вважається, що рух електрона по стаціонарній орбіті відбувається за законами класичної механіки. Оскільки маса m електрона значно менша від маси ядра атома, можна вважати ядро нерухомим. Розмістимо ядро в початку системи координат.

Запишемо другий закон Ньютона для електрона, який обертається навколо ядра по круговій орбіті радіуса r:

. (3)

Потенціальну енергію електрона на відстані r будемо вважати рівною нулю. При таких умовах повна енергія Е електрона на відстані r від ядра буде дорівнювати

(4)

Рівняння (2), (3), (4) утворюють систему, розв’язавши яку відносно r та Е, можна знайти радіуси стаціонарних орбіт та значення енергії атома у відповідних стаціонарних станах. Для цього, виключаючи швидкість v з (2) та (3), знайдемо радіуси орбіт:

(5)

В формулі (5) кожному значенню числа n відповідає певне значення r_n радіуса стаціонарної орбіти.

Для визначення енергії E_n стаціонарних станів атома виключимо v² з рівнянь (3) та (4) і в одержане таким чином співвідношення:

,

підставимо замість r значення r_n з формули (5). Після очевидних перетворень приходимо до виразу:

(6)

Ми одержали дискретний ряд значень енергії – набір енергетичних рівнів атома.

При Z = 1 та n = 1 формули (5) та (6) приводять до значень r₁ та E₁ – радіуса першої, найближчої до ядра, стаціонарної орбіти в атомі водню та енергії атома водню у найнижчому енергетичному стані, який називають основним станом. Величину r₁ = 0,529· 10^–10 м називають борівським радіусом, а Е₁ – енергією основного стану атома водню. Легко бачити, що, використовуючи значення r₁ та E₁, формули (5) та (6) можна подати у вигляді:

В атомній фізиці при вимірюваннях енергії користуються більш зручною, аніж джоуль, позасистемною одиницею – електрон-вольт (1 еВ = 1,6· 10^–19 Дж). В цих одиницях Е₁ = – 13,6 еВ.

Отже, радіуси стаціонарних орбіт, а також енергетичні рівні атома водню та будь-якого воднеподібного атома легко розраховуються через борівський радіус та енергію основного стану атома водню.

Від’ємні значення енергії стаціонарних станів обумовлені вищезгаданим способом відліку потенціальної енергії електрона в полі ядра.