5.3.8. О колебаниях в станке глубокого сверления
«KOLB- HTB III WE».
В главе 3 рассматривалась динамика узлов и механизмов, из которых состоит машина. В этом разделе дается пример анализа динамики машины- станка глубокого сверления.
В последние годы часто изготавливают теплообменные аппараты, доски трубные (коллекторы) которых имеют значительную до 500 мм толщину. Сверление многих тысяч отверстий в таких изделиях представляет серьезную задачу. Получить систему качественных отверстий можно при устойчивом функционировании всех узлов станка глубокого сверления.
Рис.5.12 Схема привода сверла для глубокого сверления:
1- основной электродвигатель; 2- электродвигатель осевой подачи;
3- шпиндель; 4, 5- стебель и режущая часть ружейного сверла; 6- ходовой
винт.
Такую работу успешно выполняют с помощью «KOLB- HTB III WE». Однако при некоторых условиях в процессе сверления могут возникать неустойчивые режимы. Схема приводов станка приведена на рис.5.12.
В связи с тем, что у всех электродвигателей частота вращения падает с ростом крутящего момента (см. рис. 5.11), то при анализе это обстоятельство необходимо учитывать16.
Известно, что на плоский проводящий замкнутый контур, помещенный в однородное магнитное поле, действует момент сил
М= Рm В, (5-27)
где Pm- вектор магнитного поля контура; В- магнитная индукция.
Учитывая уравнение (5-27), можно утверждать, что крутящий момент, действующий на ротор электродвигателя, равен М= f1(B), где f1(B) - некоторая непрерывная функция от магнитной индукции.
В общем случае вращающееся магнитное поле (движитель) в электродвигателе преодолевает суммарное сопротивление
f1(B)= Mc + hsд+ Jдdд /dt, (5-28)
где Мс- момент сопротивления; hs - потери на трение в нагрузке и двигателе, пропорциональные скорости вращения; Jд - приведенный момент инерции вращающихся частей.
Если рассматривать установившийся режим и полагать, что потери момента от скорости малы, то f1(B)= Mc , а в отклонениях от установившегося режима
Мс= ( f1/ B)B= KВМВ. (5-29)
Обратившись к механическим или скоростным характеристикам, приведенным на рис.5.11, можно записать д= f2(Mc).
Рассматривая отклонения, получим
д= ( f2/ Mc) Mc = ( f2/ Mc)KВМВ.
Перепишем в отклонениях уравнение (5-28) и полученное выражение с учетом изложенного:
KВМВ = Mc + hsд+ Jдd(д )/d t,
д=п - КВМ ( f2/ Mc ) B=п - КВП КВМВ,
где п – отклонения частоты вращения магнитного движущего поля в электродвигателе; КВП= f2/Mc- тангенс наклона механической характеристики в конкретной ее точке.
Удалим, для простоты символ “” и введем оператор p d/dt
KВМВ(t) = Mc (t) + hs д (t)+ Jдpд (t), (5-30)
д(t) =п(t) - КВП КВМВ(t). (5-31)
Решив алгебраическим способом эту систему, получим уравнение скорости вращения вала электродвигателя
п(t) - КВП Mc (t)= д(t)+ КВП [hs д (t)+ Jдd(д )/dt]. (5-32)
Если в силовой электрической цепи имеются заметные емкости, индуктивности или и то и другое, то в уравнение (5-31) следует добавить член, зависящий от скорости изменения магнитной индукции. Тогда в левой части уравнения (5-32) появится слагаемое со второй производной.
Обратившись теперь к приводам на рис. 5.12, запишем в операторном виде систему дифференциальных уравнений, описывающих работу станка:
крутильные колебания режущей части
(t)Wp- hk12 (t)(1+ T1p)= Mc (t); (5-33)
(t) Wpkp+ 1(t) - 2(t) = 0; (5-34)
продольные колебания режущей части
(t) f- hп12(t) (1+ Т11р)= Fc2 (t); (5-35)
1(t)- 2(t)- fпp(t)= 0; (5-36)
колебания в электродвигателе осевой подачи
KBM2B2(t) – hs21(t)(1+ T2 p)= k mf -1 Fc2(t); (5-37)
1(t)+ 2 k -1 pB2(t)= п1 k-1 ; (5-38)
колебания в основном электродвигателе
KBM1B1(t) – hs11(t)(1+ T21 p)= Мс1(t); (5-39)
1(t)+ 1pB1= п((t), (5-40)
где Fc2= kfm Mc; T1= J11/hk1; T11= m12 /hп1; hs2= (hп2+ hп1)/ k ; п, п1- частоты вращения магнитного поля в основном электродвигателе и электродвигателе подачи; T2= Js2/(hп1+hп2); Js2 - приведенный к валу электродвигателя подачи маховой момент инерции вращающихся и поступательно перемещающихся частей; k - коэффициент, переводящий продольную скорость движения шпинделя в частоту вращения вала электродвигателя подачи; kmf - коэффициент, учитывающий взаимосвязь крутящего момента сопротивления на режущей части и осевой нагрузкой сверла, т.е. Fc2=kmf Mc; hs1= hk1+ hk2- коэффициент потерь на трение, пропорциональное скорости вращения вала основном электродвигателе и нагрузке; T21= Js1/hs1; Js1 – маховой момент инерции вращающихся частей, связанных с валом основного электродвигателя; f- сечение стебля; J11, m12 – маховой момент инерции и масса режущей части сверла; 1= КВП1 КВМ1 /p; 2= КВП2 КВМ2 /p; п= по = lE -1f -1 - продольная упругость; k= k0 = l/(GrWp2)- крутильная упругость для цилиндрического стержня.
Введем переменные
x1= B1 ; x2= 1; x3= ; x4= 2; x5= B2; x6= 1; x7= ; x8= 2.;
A14= -hk1(1+T1p); A38= -hп1(1+T11 р); A23= - Wp k p; A72= -hs2(1+T21p);
A56= - hs2(1+T2 p); A65= 2 k-1p; .A81= 1 p; A55= KBM2; A71= KBM1;
A47=-f п p; F’c2= Fc2 /kmf ; ’п= п1 /k .
Перепишем систему уравнений (5-33) – (5-40) в векторной форме
A х (t)= M(t), (5-41)
где х- вектор переменных; M- вектор внешних воздействий,
A
=
-матрица
коэффициентов.
x(t)=
; M(t)=
.
Решим определитель D, по форме равный матрице А:
D= fWpKBM1KBM2(1+KВП1hs1 + KВП1Js1p)(1+hk1kp+ kJ11p2)x
x(1+KВП2hs2k-1 + k-1 KВП2Js2p)(1+hп1пp+ пm12p2). (5-42)
В силу физической реализуемости D 0. Поэтому неизвестные переменные по правилу Крамера могут быть найдены из выражений:
x1= B 1= D1/D; x2= д = D2 /D; x3= = D3 / D; x4= 2= D4 /D,
x5= B2= D 5 /D ; x6= 1= D6 /D; x7= D7/ D; x8= D8 /D,
где определители Di получаются подстановкой в матрицу А столбца воздействий вместо столбца соответствующей искомой переменной.
Так, для продольных колебаний скорости перемещения двигателя осевой подачи 1 получим
D6= (А71- А81А72)(-Wp- A23A14)(A55’п- A65F’c2)(-f- A38A47)=
= KBM1KBM2 f Wp(1+ KВП1hs1+ KВП1Js1 p) (1+khk1p+
+J11k p2) k-1 (п1- KВП2Fc2)f(1+пhп1p+пm12p2) (5-43)
Откуда колебания скорости поступательного движения шпинделя
1(t)= k-1 [п1(t)- KВП2Fc2 (t)]/{ (1+KВП2hs2k-1 +
+k-1 KВП2Js2p)(1+hп1пp+ пm12p2)}. (5-44)
Для колебаний частоты вращения режущей части 2 получим
2(t)= [(1+ KВП1hs1+ KВП1Js1 p) kpMs – KВП11 Мс1+ п]/
/[(1+KВП1hs1 + KВП1Js1p)(1+hk1kp+ kJ11p2)]. (5-45)
Колебания максимальных касательных напряжений в стебле будут
= W-1p[ (KВП1Мс - п)hk1(1+T1p)+ Mc(1+ КВП1hs1+ КВП1 Js1p)]/
/[(1+KВП1hs1 + KВП1Js1p)(1+hk1kp+ kJ11p2)]. (5-46)
Резонансы могут наблюдаться при частотах 1 =(пm12)-1/2; 2 =(kJ11)-1/2. (5-47)
Применяя изложенный прием можно описать линейные колебания других переменных, и с учетом полученных знаний правильно спроктировать и эксплуатировать станок.